Криволинейные координаты

Поскольку при изучении гравитационных полей приходится рассматривать явления в произвольных системах отсчета, то возникает необходимость развить четырехмерную геометрию в форме, пригодной в произвольных координатах.

Рассмотрим преобразование одной системы координат x⁰, x¹, x², x³ в другую x' ⁰,x' ¹, x' ², x' ³:

xⁱ = ƒⁱ (x' ⁰,x' ¹, x' ², x' ³),

где ƒⁱ — некоторые функции. При преобразовании координат их дифференциалы преобразуются согласно формулам

dxⁱ = dx^ik.                                         (83.1)

Контравариантным 4-вектором называется всякая совокупность четырех величин Аⁱ, которые при преобразовании координат преобразуются как их дифференциалы:

Aⁱ =  A^ik .                                         (83.2)

Пусть φ — некоторый скаляр. Производные ∂φ/∂xⁱ при преобразовании координат преобразуются согласно формулам

=  ,                                    (83.3)

отличным от формул (83.2). Ковариантнъш 4-вектором называется всякая совокупность четырех величин А_i, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра:

А_i = A'_k.                                          (83.4)

Аналогичным образом определяются 4-тензоры различных рангов. Так, контравариантным 4-тензором 2-го ранга А^ik называется совокупность 16 величин, преобразующихся как произведения двух контравариантных векторов, т. е. по закону

А^ik =   A' ^lm.                              (83.5)

Ковариангный тензор 2-го ранга A_ik преобразуется по закону

A_ik = A'_lm.                              (83.6)

а смешанный 4-тензор Aⁱ_k — по формулам

Aⁱ_k =   A' ^l_m.                              (83.7)

Данные определения являются естественным обобщением определений 4-векторов и 4-тензоров в галилеевых координатах, согласно которым дифференциалы dxⁱ тоже составляют контравариантный, а производные ∂φ/∂xⁱ — ковариантный 4-вектор.

Правила образования 4-тензоров путем перемножения или упрощения произведений других 4-тензоров остаются в криволинейных координатах теми же, что и в галилеевых координатах. Легко, например, убедиться в том, что в силу законов преобразования (83.2) и (83.4) скалярное произведение двух 4-векторов AⁱB_i действительно инвариантно:

AⁱB_i = A'^l B'_m = A'^l B'_m = A'^l B'_l.

Определение единичного 4-тензора  при переходе к криволинейным координатам не меняется: его компоненты снова =0 при i≠k, а при i=k равны 1. Если А^k — 4-вектор, то при умножении на  мы получим

A^k = Aⁱ ,

т. е. снова 4-вектор; этим и доказывается, что  является тензором.