Криволинейные координаты

Квадрат элемента длины в криволинейных координатах есть квадратичная форма дифференциалов dxⁱ:

ds² = g_ikdxⁱdx^k,                                        (83.8)

где g_ik — функции координат, симметричных по индексам i и k:

g_ik = g_ki.                                                   (83.9)

Поскольку произведение (упрощенное) g_ik на контравариантный тензор dxⁱdx^k есть скаляр, то g_ik составляют ковариантный тензор; он называется метрическим тензором.

Два тензора А_ik и B^ik называются обратными друг другу, если

A_ikB^kl = .

В частности, контравариантным метрическим тензором g^ik называется тензор, обратный тензору g_ik, т. е.

g_ikg^kl =                                            (83.10)

Одна и та же векторная физическая величина может быть представлена как в контра-, так и в ковариантных компонентах. Очевидно, что единственными величинами, которые могут определять связь между теми и другими, являются компоненты метрического тензора. Такая связь дается формулами

Аⁱ = g^ikA_k,   A_i = g_ikA^k.                         (83.11)

В галилеевой системе координат метрический тензор имеет компоненты:

= g^ik(0) = .     (83.12)

Формулы (83.11) дают известную связь А⁰=А₀, A^1,2,3=−A_1,2,3.

Сказанное относится и к тензорам. Переход между различными формами одного и того же физического тензора совершается с помощью метрического тензора по формулам

Aⁱ_k = g^ilA_lk,   A^ik = g^ilg^kmA_lm

и т. п.

Ранее был определен (в галилеевой системе координат) совершенно антисимметричный единичный псевдотензор e^iklm. Преобразуем его к произвольной криволинейной системе координат, причем обозначим его теперь через E^iklm. Обозначение же e^iklm сохраним для величин, определенных по-прежнему по значению e⁰¹²³=1 (или е₀₁₂₃=−1).

Пусть x'ⁱ — галилеевы, а xⁱ — произвольные криволинейные координаты. Согласно общим правилам преобразования тензоров, имеем

E^iklm = e^prst,

или

E^iklm = J^eiklm,

где J —определитель, составленный из производных ∂xⁱ/∂х'^р, т.е. не что иное, как якобиан преобразования от галилеевых координат к криволинейным:

J = .