Криволинейные координаты

Этот якобиан можно выразить через определитель метрического тензора g_ik (в системе xⁱ). Для этого пишем формулу преобразования метрического тензора:

g^ik = g^lm(0)

и приравниваем определители, составленные из величин, стоящих в обеих частях этого равенства. Определитель обратного тензора |g^ik|=1/g. Определитель же |g^lm(0)|=−1. Поэтому имеем 1/g=−J², откуда J=1/.

Таким образом, в криволинейных координатах антисимметричный единичный тензор 4-го ранга должен быть определен как

E^iklm = e^iklm.                          (83.13)

Опускание индексов у этого тензора осуществляется с помощью формулы

e^prstg_ipg_krg_lsg_mt = − ge_iklm,

так что его ковариантные компоненты

E_iklm =  e_iklm.                            (83.14)

В галилеевой системе координат x'ⁱ интеграл от скаляра по dΩ'=dx'⁰dx'¹dx'²dx'³ тоже есть скаляр, т.е. элемент dΩ' ведет себя при интегрировании как скаляр. При преобразовании к криволинейным координатам xⁱ элемент интегрирования dΩ' переходит в

dΩ' → dΩ =  dΩ.

Таким образом, в криволинейных координатах произведение  dΩ при интегрировании по 4-объему ведет себя как инвариант.

Все сказанное относительно элементов интегрирования по гиперповерхности, поверхности и линии остается в силе и в криволинейных координатах, с тем только отличием, что несколько меняется определение дуальных тензоров. Элемент «площади» гиперповерхности, построенный на трех бесконечно малых смещениях, есть контравариантный антисимметричный тензор dS^ikl; дуальный ему вектор получается при умножении на тензор  e_iklm, т.е. равен

dS_i = −  e_iklm dS^klm .                  (83.15)

Аналогично, если dƒ^ik есть элемент поверхности (двухмерной), построенный на двух бесконечно малых смещениях, то дуальный ему тензор определяется как

d = e_iklm dƒ^lm.                     (83.16)

Мы оставляем здесь обозначения dS_i и d, как и прежде, соответственно для e_klmidS^klm и e_iklm dƒ^lm (а не для их произведений на ); правила (6.14)—(6.19) для преобразования различных интегралов друг в друга остаются тогда теми же самыми, поскольку их вывод имеет формальный характер, не связанный с тензорными свойствами соответствующих величин. Из них нам в особенности понадобится правило преобразования интеграла по гиперповерхности в интеграл по 4-объему (теорема Гаусса), осуществляющегося заменой

dS_i → dΩ .                                        (83.17)