Расстояния и промежутки времени

Мы уже говорили, что в общей теории относительности выбор системы отсчета ничем не ограничен; тремя пространственными координатами x¹, x², x³ могут являться любые величины, определяющие расположение тел в пространстве, а временная координата x⁰ может определяться произвольно идущими часами. Возникает вопрос о том, каким образом по значениям величин x⁰, x¹, x², x³ можно определить истинные расстояния и промежутки времени.

Определим сначала связь истинного времени, которое мы будем ниже обозначать буквой т, с координатой x⁰. Для этого рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в одной и той же точке пространства. Тогда интеграл ds² между этими двумя событиями есть не что иное, как cdτ, где dτ — промежуток времени (истинного) между обоими событиями. Полагая dx¹=dx²=dx³=0 в общем выражении ds²=g_ikdxⁱdx^k, находим, следовательно,

ds² = с² dτ² = g₀₀(dx⁰)²,

откуда

dτ =   dx⁰,                                       (84.1)

или для времени между любыми двумя событиями в одной и той же точке пространства

τ = dx⁰.                                     (84.2)

Эти соотношения и определяют промежутки истинного времени (или, как говорят, собственного времени для данной точки пространства) по изменению координаты x⁰. Заметим также, что величина g₀₀, как видно из приведенных формул, положительна:

g₀₀ > 0.                                               (84.3)

Необходимо подчеркнуть разницу между смыслом условия (84.3) и смыслом условия об определенной сигнатуре (знаках главных значений) тензора g_ik. Тензор g_ik, не удовлетворяющий второму из этих условий, вообще не может соответствовать какому бы то ни было реальному гравитационному полю, т. е. метрике реального пространства-времени. Невыполнение же условия (84.3) означало бы лишь, что соответствующая система отсчета не может быть осуществлена реальными телами; если условие о главных значениях при этом выполняется, то надлежащим преобразованием координат можно добиться того, что g₀₀ станет положительным (пример подобной системы представляет собой вращающаяся система координат).

Определим теперь элемент dl пространственного расстояния. В специальной теории относительности можно определять dl как интервал между двумя бесконечно близкими событиями, происходящими в один и тот же момент времени. В общей теории относительности этого, вообще говоря, уже нельзя сделать, т.е. нельзя определить dl, просто положив dx⁰=0 в ds. Это связано с тем, что в гравитационном поле собственное время в разных точках пространства различным образом связано с координатой x⁰.

Для определения dl поступим теперь следующим образом.

Пусть из некоторой точки В пространства (с координатами x^α+dx^α) отправляется световой сигнал в бесконечно близкую к ней точку А (с координатами x^α), а затем сразу обратно по тому же пути. Необходимое для этого время (отсчитываемое в одной и той же точке В), умноженное на c, есть, очевидно, удвоенное расстояние между обеими точками.

Напишем интервал, выделив пространственные и временную координаты:

ds² = g_αβdx^αdx^β + 2g_0αdx⁰dx^α + g₀₀(dx⁰)²,         (84.4)

где, как обычно, по дважды повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3. Интервал между событиями, являющимися уходом и приходом сигнала из одной точки в другую, равен нулю. Решая уравнение ds²=0 относительно dx⁰, найдем два корня:

dx⁰⁽¹⁾ =  (− g_0αdx^α − ),   dx⁰⁽²⁾ =  (− g_0αdx^α + ),   (84.5)

отвечающих распространению сигнала в двух направлениях между А и В. Если x⁰ есть момент прибытия сигнала в А, то моменты его отправления из В и обратного возвращения в В будут соответственно будут соответственно будут соответственно x⁰+dx⁰⁽¹⁾ и x⁰+dx⁰⁽²⁾.