Страница 2 из 3
Рис. 18
На схематическом рис. 18 сплошные прямые — мировые линии, соответствующие заданным координатам xα и xα+dxα, а штриховые — мировые линии сигналов. Ясно, что полный промежуток «времени» между отправлением и возвращением сигнала в ту же точку равен
dx0(2) − dx0(1) = 
.
Соответствующий промежуток истинного времени получается отсюда согласно (84.1) умножением на 
/c, а расстояние dl между обеими точками —еще умножением на с/2. В результате находим
dl2 = (−gαβ + 
)dxαdxβ.
Это и есть искомое выражение, определяющее расстояние через элементы пространственных координат. Перепишем его в виде
dl2 = γαβdxαdxβ , (84.6)
где
γαβ = − gαβ + (84.7)
есть трехмерный метрический тензор, определяющий метрику, т. е. геометрические свойства пространства. Соотношениями (84.7) устанавливается связь между метрикой реального пространства и метрикой четырехмерного пространства-времени.
Необходимо, однако, помнить, что gik зависят, вообще говоря, от x0, гак что и пространственная метрика (84.6) меняется со временем. По этой причине не имеет смысла интегрировать dl — такой интеграл зависел бы от того, по какой мировой линии между двумя заданными пространственными точками он брался. Таким образом, в общей теории относительности теряет, вообще говоря, смысл понятие об определенном расстоянии между телами, остающееся в силе лишь в бесконечно малом. Единственным случаем, когда расстояние может быть определено и в конечных областях пространства, являются такие системы отсчета, в которых gik не зависят от времени, и потому интеграл ∫dl вдоль пространственной кривой имеет определенный смысл.
Полезно заметить, что тензор −γαβ является тензором, обратным контравариантному трехмерному тензору gαβ. Действительно, расписав в компонентах равенство gikgkl=
, имеем
gαβgβγ + gα0g0γ = 
,
gαβgβ0 + gα0g00 = 0, (84.8)
g0βgβ0 + g00g00 = 1.
Определив gα0 из второго равенства и подставив в первое, получим
− gαβγβγ = ,
что и требовалось доказать. Этот результат можно сформулировать иначе, сказав, что величины −gαβ составляют контравариантный трехмерный метрический тензор, отвечающий метрике (84.6):
γαβ = − gαβ. (84.9)
