Страница 2 из 3
Пусть Аi и Вi — некоторый ковариантный и некоторый контравариантный векторы. Тогда из δ(АiВi)=0 имеем
ВiδАi = − АiδВi = BkAidxl,
или, меняя обозначение индексов,
ВiδАi = AkBidxl.
Отсюда имеем ввиду произвольности Вi:
δАi = Akdxl, (85.5)
чем и определяется изменение ковариантного вектора при параллельном переносе.
Подставляя (85.2) и dAi= dxl в (85.1), имеем
DAi = + Akdxl. (85.6)
Аналогично находим дчя ковариантного вектора:
DAi = + Akdxl. (85.7)
Выражения, стоящие в скобках в (85.6), (85.7) являются тензорами, так как умноженные на вектор dxl они дают снова вектор. Очевидно, что они и являются теми тензорами, которые осуществляют искомое обобщение понятия производной от вектора на криволинейные координаты. Эти тензоры носят название ковариантпных производных соответственно векторов Аi и Аi. Мы будем обозначать их через Аi;k и Аi;k. Таким образом,
DAi = Ai;l dxl, DAi = Ai;l dxl, (85.8)
а сами ковариантные производные:
Аi;k = + Ak, (85.9)
Аi;k = − Ak. (85.10)
В галилеевых координатах =0 и ковариантные производные переходят в обычные.
Легко определить также ковариантную производную от тензора. Для этого надо определить изменение тензора при бесконечно малом параллельном переносе. Рассмотрим, например, какой-нибудь контравариантный тензор, являющийся произведением двух контравариантных векторов AiBk. При параллельном переносе имеем
δ(AiBk) = AiδBk + BkδAi = − AiBldxm − BkAldxm.
В силу линейности этого преобразования оно должно иметь место и для любого тензора Aik:
δAik = − (Aim + Amk) dxl. (85.11)
Подставляя это в
DAik = dAik − δAik ≡ Аik;l dxl ,
находим ковариантную производную тензора Aik в виде
Аik;l = + Amk + Aim. (85.12)
Совершенно аналогично находим ковариантные производные смешанного и ковариантного тензоров в виде
Aik;l = − + , (85.13)
Aik;l = − Amk − Aim. (85.14)