Ковариантное дифференцирование

Страница 2 из 3

Пусть А_i и Вⁱ — некоторый ковариантный и некоторый контравариантный векторы. Тогда из δ(А_iВⁱ)=0 имеем

ВⁱδА_i = − А_iδВⁱ = B^kA_idx^l,

или, меняя обозначение индексов,

ВⁱδА_i = A_kBⁱdx^l.

Отсюда имеем ввиду произвольности Вⁱ:

δА_i = A_kdx^l, (85.5)

чем и определяется изменение ковариантного вектора при параллельном переносе.

Подставляя (85.2) и dAⁱ= dx^l в (85.1), имеем

DAⁱ = + A^kdx^l. (85.6)

Аналогично находим дчя ковариантного вектора:

DA_i = + A_kdx^l. (85.7)

Выражения, стоящие в скобках в (85.6), (85.7) являются тензорами, так как умноженные на вектор dx^l они дают снова вектор. Очевидно, что они и являются теми тензорами, которые осуществляют искомое обобщение понятия производной от вектора на криволинейные координаты. Эти тензоры носят название ковариантпных производных соответственно векторов Аⁱ и А_i. Мы будем обозначать их через Аⁱ_;k и А_i_;_k. Таким образом,

DAⁱ = Aⁱ_;l dx^l, DA_i = A_i_;l dx^l, (85.8)

а сами ковариантные производные:

Аⁱ_;k = + A^k, (85.9)

А_i_;_k = − A_k. (85.10)

В галилеевых координатах =0 и ковариантные производные переходят в обычные.

Легко определить также ковариантную производную от тензора. Для этого надо определить изменение тензора при бесконечно малом параллельном переносе. Рассмотрим, например, какой-нибудь контравариантный тензор, являющийся произведением двух контравариантных векторов AⁱB^k. При параллельном переносе имеем

δ(AⁱB^k) = AⁱδB^k + B^kδAⁱ = − AⁱB^ldx^m − BkA^ldx^m.