Ковариантное дифференцирование

Аналогичным образом можно определить ковариантную производную тензора любого ранга. При этом получается следующее правило ковариантного дифференцирования: чтобы получить ковариантную производную тензора  по x^l, к обычной производной ∂/∂x^l на каждый ковариантный индекс i() надо прибавить член −, а на каждый контравариантный индекс i() надо прибавить член +.

Можно легко убедиться в том, что ковариантная производная от произведения находится по тем же правилам, что и обычная производная от произведения. При этом ковариантную производную от скаляра φ надо понимать как обычную производную, т.е. как ковариантный вектор φ_k=∂φ/∂x^k, в согласии с тем, что для скаляров δφ=0 и потому Dφ=dφ. Например, ковариантная производная произведения A_iB_k равна

(A_iB_k)_;l = A_i;lB_k + A_iB_k;l.

Поднимая у ковариантных производных индекс, указывающий дифференцирование, мы получим так называемые контравариантные производные. Так,

А_i^;k = g^klA_i;l,   А^i;k = g^klAⁱ_;l.

Выведем теперь формулы преобразования от одной системы координат к другой для символов Кристоффеля.

Эти формулы можно получить, сравнивая законы преобразования обеих частей равенств, определяющих любую из ковариантных производных, и требуя, чтобы эти законы для обеих частей были одинаковы. Простое вычисление приводит к формуле

=     +  .        (85.15)

Из этой формулы видно, что величины  ведут себя как тензоры лишь по отношению к линейным преобразованиям координат (когда исчезает второй член в (85.15)).

Заметим, однако, что этот член симметричен по индексам k, l; поэтому он выпадает при образовании разности =−. Она преобразуется, следовательно, по тензорному закону

=   ,

т.е. является тензором. Его называют тензором кручения пространства.

Покажем теперь, что в излагаемой теории, основанной на принципе эквивалентности, тензор кручения должен равняться нулю. Действительно, как уже говорилось, в силу этого принципа должна существовать «галилеева» система координат, в которой в данной точке обращаются в нуль величины , а следовательно и . Но поскольку  — тензор, то, будучи равным нулю в одной системе, он будет равен нулю и в любой системе координат. Это означает, что символы Кристоффеля должны быть симметричны по нижним индексам:

= .                                                     (85.16)

Очевидно, что и

Г_i;kl = Г_i;lk.                                                  (85.17)

В общем случае имеется всего 40 различных величин  — для каждого из четырех значений индекса i имеется 10 различных пар значений индексов k и l (считая пары, получающиеся перестановкой k и l одинаковыми).

Формула (85.15) при условии (85.16) позволяет доказать сделанное выше утверждение о возможности такого выбора системы координат, при котором все , обращаются в нуль в любой наперед заданной точке (такую систему называют локально-инерциальной или локально-геодезической).

Действительно, пусть заданная точка выбрана в качестве начала координат и величины  имеют в ней первоначально (в координатах xⁱ) значения ()₀. Произведем вблизи этой точки преобразование

x'ⁱ = xⁱ + ()₀x^kx^l.                             (85.18)

Тогда

 ₀ = ()₀                     (85.19)

и согласно (85.15) все  обращаются в нуль.

Подчеркнем, что условие (85.16) здесь существенно: выражение в левой части равенства (85.19) симметрично по индексам k, l, поэтому должна быть симметрична и правая часть равенства.

Заметим, что для преобразования (85.18)

₀ = ,

поэтому оно не меняет значений любого тензора (в том числе тензора g_ik) в заданной точке, так что обращение символов Кристоффеля в нуль может быть осуществлено одновременно с приведением g_ik к галилееву виду.