Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором

Страница 1 из 2

Докажем, что ковариантная производная от метрического тензора g_ik равна нулю. Для этого заметим, что для вектора DA_iкак и для всякого вектора, должно иметь место соотношение

DA_i = g_ikDA^k.

С другой стороны, A_i=g_ikA^k, и потому

DA_i = D(g_ikA^k) = g_ikDA^k + A^kDg_ik.

Сравнивая с DA_i=g_ikDA^k, имеем в виду произвольности вектора Аⁱ:

Dg_ik = 0.

Поэтому и ковариантная производная

g_ik;l = 0. (86.1)

Таким образом, при ковариантном дифференцировании g_ik надо рассматривать как постоянные.

Равенством g_ik_;l=0 можно воспользоваться для того, чтобы выразить символы Кристоффеля через метрический тензор g_ik. Для этого напишем согласно общему определению (85.14):

g_ik_;l = − g_mk − g_im = − Г_k;il − Г_i;kl = 0.

Таким образом, производные от g_ik выражаются через символы Кристоффеля. Напишем эти производные, переставляя индексы i, k, l:

= Г_k,il − Г_i,kl, = Г_k,il − Г_i,kl, − = Г_l,ki − Г_k,li.

Взяв полусумму этих равенств, находим (помня, что Г_i;kl=Г_i;lk)

Г_i,kl = + − . (86.2)

Отсюда имеем для символов =g^im Tmiki:

= g^im + − . (86.3)

Эти формулы и дают искомые выражения символов Кристоффеля через метрический тензор.

Выведем полезное для дальнейшего выражение для упрощенного символа Кристоффеля . Для этого определим дифференциал dg определителя g, составленного из компонент тензора g_jk; dg можно получить, взяв дифференциал от каждой компоненты тензора g_ik и умножив ее на свой коэффициент в определителе, т. е. на соответствующий минор. С другой стороны, компоненты тензора g^ik, обратного тензору g_ik, равны, как известно, минорам определителя из величин g_ik, деленным на этот определитель. Поэтому миноры определителя g равны gg^ik. Таким образом,