Страница 1 из 2
Докажем, что ковариантная производная от метрического тензора gik равна нулю. Для этого заметим, что для вектора DAi как и для всякого вектора, должно иметь место соотношение
DAi = gikDAk.
С другой стороны, Ai=gikAk, и потому
DAi = D(gikAk) = gikDAk + AkDgik.
Сравнивая с DAi=gikDAk, имеем в виду произвольности вектора Аi:
Dgik = 0.
Поэтому и ковариантная производная
gik;l = 0. (86.1)
Таким образом, при ковариантном дифференцировании gik надо рассматривать как постоянные.
Равенством gik;l=0 можно воспользоваться для того, чтобы выразить символы Кристоффеля через метрический тензор gik. Для этого напишем согласно общему определению (85.14):
gik;l = − gmk − gim = − Гk;il − Гi;kl = 0.
Таким образом, производные от gik выражаются через символы Кристоффеля. Напишем эти производные, переставляя индексы i, k, l:
= Гk,il − Гi,kl, = Гk,il − Гi,kl, − = Гl,ki − Гk,li.
Взяв полусумму этих равенств, находим (помня, что Гi;kl=Гi;lk)
Гi,kl = + − . (86.2)
Отсюда имеем для символов =gim Tmiki:
= gim + − . (86.3)
Эти формулы и дают искомые выражения символов Кристоффеля через метрический тензор.
Выведем полезное для дальнейшего выражение для упрощенного символа Кристоффеля . Для этого определим дифференциал dg определителя g, составленного из компонент тензора gjk; dg можно получить, взяв дифференциал от каждой компоненты тензора gik и умножив ее на свой коэффициент в определителе, т. е. на соответствующий минор. С другой стороны, компоненты тензора gik, обратного тензору gik, равны, как известно, минорам определителя из величин gik, деленным на этот определитель. Поэтому миноры определителя g равны ggik. Таким образом,
dg = ggikdgik = − ggikdgik (86.4)
(поскольку gikgik==4, то gikdgik=−gikdgik).
Из (86.3) имеем
= gim + − .
Меняя местами индексы m и i в третьем и первом членах в скобках, видим, что оба эти члена взаимно сокращаются, так что
= gim ,
или согласно (86.4)
= = . (86.5)
Полезно заметить также выражение для величины gkl. Имеем
gkl = gklgim + − = gklgim − .
С помощью (86.4) это можно преобразовать к виду
gkl = − . (86.6)