Страница 2 из 2
При различных вычислениях бывает полезным иметь в виду, что производные от контравариантного тензора gik связаны с производными от соотношениями
gil
= − glk
(86.7)
(получающимися при дифференцировании равенства gilglk=
). Наконец, укажем, что производные от gik тоже могут быть выражены через величины
. Именно, из тождества gik;l=0 непосредственно следует, что
= −
gmk −
gim. (86.8)
С помощью полученных формул можно привести к удобному виду выражение
, являющееся обобщением дивергенции вектора на криволинейные координаты. Воспользовавшись (86.5), имеем
=
+
Al =
+ Al
,
или окончательно
=
. (86.9)
Аналогичное выражение можно получить и для дивергенции антисимметричного тензора Aik. Из (85.12) имеем
=
+
Amk +
Aim.
Но поскольку Amk=−Akm, то
Amk = −
Akm = 0.
Подставляя выражение (86.5) для находим, следовательно:
=
. (86.10)
Пусть теперь Аik — симметричный тензор; определим выражение
для его смешанных компонент. Имеем
=
+ 
− 
=
− 
.
Последний член здесь равен
−

+
− 
Akl.
В силу симметрии тензора Akl два члена в скобках взаимно сокращаются, и остается
=
−
Akl. (86.11)
В декартовых координатах
−
есть антисимметричный тензор. В криволинейных координатах этот тензор есть Ai;k − Ak;i. Однако с помощью выражений для Ai;k и ввиду того, что
=
, имеем
Ai;k − Ak;i =
−
. (86.12)
Наконец, преобразуем к криволинейным координатам сумму
вторых производных от некоторого скаляра φ. Очевидно, что в криволинейных координатах эта сумма перейдет в
. Но φ;i=∂φ/∂xi, так как ковариантное дифференцирование скаляра сводится к обычному дифференцированию. Поднимая индекс i, имеем
φ;i = gik
и с помощью формулы (86.9) находим
=


gik 
. (86.13)
Полезно заметить, что теорема Гаусса (83.17) для преобразования интеграла от вектора по гиперповерхности в интеграл по 4-объему может быть написана ввиду (86.9) как
Ai
dSi = 

dΩ. (86.14)