Страница 2 из 2
При различных вычислениях бывает полезным иметь в виду, что производные от контравариантного тензора gik связаны с производными от соотношениями
gil = − glk (86.7)
(получающимися при дифференцировании равенства gilglk=). Наконец, укажем, что производные от gik тоже могут быть выражены через величины . Именно, из тождества gik;l=0 непосредственно следует, что
= − gmk − gim. (86.8)
С помощью полученных формул можно привести к удобному виду выражение , являющееся обобщением дивергенции вектора на криволинейные координаты. Воспользовавшись (86.5), имеем
= + Al = + Al ,
или окончательно
= . (86.9)
Аналогичное выражение можно получить и для дивергенции антисимметричного тензора Aik. Из (85.12) имеем
= + Amk + Aim.
Но поскольку Amk=−Akm, то
Amk = − Akm = 0.
Подставляя выражение (86.5) для находим, следовательно:
= . (86.10)
Пусть теперь Аik — симметричный тензор; определим выражение для его смешанных компонент. Имеем
= + − = − .
Последний член здесь равен
− + − Akl.
В силу симметрии тензора Akl два члена в скобках взаимно сокращаются, и остается
= − Akl. (86.11)
В декартовых координатах − есть антисимметричный тензор. В криволинейных координатах этот тензор есть Ai;k − Ak;i. Однако с помощью выражений для Ai;k и ввиду того, что =, имеем
Ai;k − Ak;i = − . (86.12)
Наконец, преобразуем к криволинейным координатам сумму вторых производных от некоторого скаляра φ. Очевидно, что в криволинейных координатах эта сумма перейдет в . Но φ;i=∂φ/∂xi, так как ковариантное дифференцирование скаляра сводится к обычному дифференцированию. Поднимая индекс i, имеем
φ;i = gik
и с помощью формулы (86.9) находим
= gik . (86.13)
Полезно заметить, что теорема Гаусса (83.17) для преобразования интеграла от вектора по гиперповерхности в интеграл по 4-объему может быть написана ввиду (86.9) как
Ai dSi = dΩ. (86.14)