Страница 2 из 2
При различных вычислениях бывает полезным иметь в виду, что производные от контравариантного тензора gik связаны с производными от соотношениями
gil 
= − glk 
(86.7)
(получающимися при дифференцировании равенства gilglk=
). Наконец, укажем, что производные от gik тоже могут быть выражены через величины 
. Именно, из тождества gik;l=0 непосредственно следует, что
= − 
gmk − 
gim. (86.8)
С помощью полученных формул можно привести к удобному виду выражение 
, являющееся обобщением дивергенции вектора на криволинейные координаты. Воспользовавшись (86.5), имеем
= 
+ 
Al = + Al 
,
или окончательно
= 
. (86.9)
Аналогичное выражение можно получить и для дивергенции антисимметричного тензора Aik. Из (85.12) имеем
= 
+ 
Amk + 
Aim.
Но поскольку Amk=−Akm, то
Amk = − 
Akm = 0.
Подставляя выражение (86.5) для находим, следовательно:
= 
. (86.10)
Пусть теперь Аik — симметричный тензор; определим выражение 
для его смешанных компонент. Имеем
= 
+ 
− 
= 
− 
.
Последний член здесь равен
− 
+ 
− 
Akl.
В силу симметрии тензора Akl два члена в скобках взаимно сокращаются, и остается
= 
− Akl. (86.11)
В декартовых координатах 
− 
есть антисимметричный тензор. В криволинейных координатах этот тензор есть Ai;k − Ak;i. Однако с помощью выражений для Ai;k и ввиду того, что =
, имеем
Ai;k − Ak;i = − . (86.12)
Наконец, преобразуем к криволинейным координатам сумму 
вторых производных от некоторого скаляра φ. Очевидно, что в криволинейных координатах эта сумма перейдет в 
. Но φ;i=∂φ/∂xi, так как ковариантное дифференцирование скаляра сводится к обычному дифференцированию. Поднимая индекс i, имеем
φ;i = gik 
и с помощью формулы (86.9) находим
= 
gik . (86.13)
Полезно заметить, что теорема Гаусса (83.17) для преобразования интеграла от вектора по гиперповерхности в интеграл по 4-объему может быть написана ввиду (86.9) как
Ai dSi = 
dΩ. (86.14)
