Движение частицы в гравитационном поле

Движение свободной материальной частицы в специальной теории относительности определяется принципом наименьшего действия:

δS = − mcδ ds = 0,                          (87.1)

согласно которому частица движется так, что ее мировая линия является экстремальной между двумя заданными мировыми точками, т.е. в данном случае прямой (в обычном трехмерном пространстве этому соответствует прямолинейное равномерное движение).

Движение частицы в гравитационном поле должно определяться принципом наименьшего действия в той же форме (87.1), так как гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, проявляющимся только в изменении выражения ds через dxⁱ. Таким образом, в гравитационном поле частица движется так, что ее мировая точка перемещается по экстремальной, или, как говорят, по геодезической линии в 4-пространстве x⁰, x¹ х², х³; поскольку, однако, при наличии гравитационного поля пространство-время негалилеево, то эта линия не «прямая», а реальное пространственное движение частицы — не равномерно и не прямолинейно.

Вместо того чтобы снова исходить непосредственно из принципа наименьшего действия (см. задачу к этому параграфу), проще найти уравнения движения частицы в гравитационном поле путем соответствующего обобщения дифференциальных уравнений свободного движения частицы в специальной теории относительности, т.е. в галилеевой 4-системе координат. Эти уравнения гласят duⁱ/ds=0, или иначе duⁱ=0, где uⁱ=dxⁱ/ds есть 4-скорость. Очевидно, что в криволинейных координатах это уравнение обобщается в

Duⁱ = 0.                                          (87.2)

Из выражения (85.6) для ковариантного дифференциала вектора имеем

duⁱ + u^kdx^l = 0.

Разделив это уравнение на ds, находим

+   = 0.            (87.3)

Это и есть искомые уравнения движения. Мы видим, что движение частицы в гравитационном поле определяется величинами . Производная d²xi/ds² есть 4-ускорение частицы. Поэтому мы можем назвать величину −u^ku^l «4-силой», действующей на частицу в гравитационном поле. Тензор g_ik играет при этом роль «потенциалов» гравитационного поля — его производные определяют «напряженность» поля .

Ранее было показано, что соответствующим выбором системы координат всегда можно обратить все  в нуль в любой заданной точке пространства-времени. Мы видим теперь, что выбор такой локально-инерциальной системы отсчета означает исключение гравитационного поля в данном бесконечно малом элементе пространства-времени, а возможность такого выбора есть выражение принципа эквивалентности в релятивистской теории тяготения .

Четырехмерный импульс частицы в гравитационном поле определяется попрежнему как

pⁱ = mcuⁱ,                                  (87.4)

а его квадрат равен

p_ipⁱ = m²c².                               (87.5)

Подставив сюда −∂S/dxⁱ вместо p_i, найдем уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в гравитационном поле:

g^ik − m²c² = 0.            (87.6)

Для распространения светового сигнала уравнение геодезической линии в форме (87.3) неприменимо, так как вдоль мировой линии распространения светового луча интервал ds=0 и все члены в уравнении (87.3) обращаются в бесконечность. Для придания уравнениям движения в этом случае нужного вида воспользуемся тем, что направление распространения луча света в геометрической оптике определяется волновым вектором, касательным к лучу. Мы можем поэтому написать четырехмерный волновой вектор в виде kⁱ=dxⁱ/dλ, где λ есть некоторый параметр, меняющийся вдоль луча. В специальной теории относительности при распространении света в пустоте волновой вектор не меняется вдоль луча, т.е. dkⁱ=0. В гравитационном поле это уравнение переходит в Dkⁱ=0, или

+ k^kk^l = 0                    (87.7)

(из этих же уравнений определится и параметр λ).