Движение частицы в гравитационном поле

Квадрат волнового 4-вектора равен нулю:

k_ikⁱ = 0.                                    (87.8)

Подставляя сюда ∂ψ/∂xⁱ вместо k_i (ψ — эйконал), находим уравнение эйконала в гравитационном поле:

g^ik  = 0.                      (87.9)

В предельном случае малых скоростей релятивистские уравнения движения частицы в гравитационном поле должны перейти в соответствующие нерелятивистские уравнения. При этом надо иметь в виду, что из предположения о малости скоростей вытекает также условие, что само гравитационное поле должно быть слабым; в противном случае находящаяся в нем частица приобрела бы большую скорость.

Выясним, как связан в этом предельном случае метрический тензор g_ik с нерелятивистским потенциалом φ гравитационного поля.

В нерелятивистской механике движение частицы в гравитационном поле определяется функцией Лагранжа (81.1). Мы напишем ее теперь в виде

L = −mc² + − mφ,                   (87.10)

прибавив постоянную −mc². Это надо сделать для того, чтобы нерелятивистская функция Лагранжа в отсутствие поля L=−mc²+mv²/2 была в точности той, в которую переходит соответствующая релятивистская функция L=−mc² в пределе при v/c→0.

Нерелятивистское действие S для частицы в гравитационном поле, следовательно, имеет вид

S = Ldt = −mc c −  + dt.

Сравнивая это с выражением S=−ms∫ds, мы видим, что в рассматриваемом предельном случае

ds = c −  + dt,

Возводя в квадрат и опуская члены, обращающиеся при c→∞в нуль, находим

ds² = (c² + 2φ)dt² − dr²,             (87.11)

где мы учли, что vdt=dr.

Таким образом, компонента g₀₀ метрического тензора в предельном случае равна

g₀₀ = 1 + .                               (87.12)

Что касается остальных компонент, то из (87.11) следовало бы, что g_αß=δ_αß, g_0ß=0. В действительности, однако, поправки к ним, вообще говоря, того же порядка величины, что и поправка в g₀₀. Невозможность определения этих поправок приведенным выше способом связана с тем, что поправка в g_αß, имеющая тот же порядок величины, что и поправка в g₀₀, привела бы в функции Лагранжа к членам более высокого порядка малости (вследствие того, что в выражении для ds² компоненты g_αß не умножаются на c², как это имеет место для g₀₀).