Постоянное гравитационное поле

Рассмотрим распространение лучей света в постоянном гравитационном поле. Мы видели ранее, что частота света равна производной от эйконала  по времени (с обратным знаком). Частота, измеренная в мировом времени x⁰/с, поэтому равна ω₀=−c∂/∂τ. Поскольку уравнение эйконала (87.9) в постоянном поле не содержит x⁰ явно, то частота ω₀ остается постоянной при распространении луча света. Частота же, измеренная в собственном времени, равна ω=−∂/∂τ она различна в разных точках пространства.

В силу соотношения

 = =

имеем

ω = .                                    (88.6)

В слабом гравитационном поле получаем приближенно:

ω = ω₀ 1 − .                          (88.7)

Мы видим, что частота света возрастает с увеличением абсолютной величины потенциала гравитационного поля, т.е. при приближении к создающим поле телам; наоборот, при удалении луча от этих тел частота света уменьшается. Если луч света, испущенный в точке, где гравитационный потенциал равен φ₁, имеет (в этой точке) частоту ω, то, придя в точку с потенциалом φ₂, он будет иметь частоту (измеренную в собственном времени в этой точке), равную

  1 −  ≈ ω 1 + .

Линейчатый спектр, испускаемый какими-либо атомами, находящимися, например, на Солнце, выглядит там точно так же, как выглядит па Земле спектр, испускаемый находящимися на ней такими же атомами. Если же па Земле наблюдается спектр, испускаемый атомами, находящимися на Солнце, то, как следует из вышеизложенного, его линии окажутся смещенными по сравнению с линиями такого же спектра, испускаемого на Земле. Именно, каждая линия с частотой ω будет смещена на интервал Δω, определяемый из формулы

Δω =  ω,                          (88.8)

где φ₁ и φ₂ — потенциалы гравитационного поля соответственно в месте испускания и в месте наблюдения спектра. Если на Земле наблюдается спектр, испускаемый на Солнце или звездах, то |φ₁|>|φ₂| и из (88.8) следует, что Δω<0, т.е. смещение происходит в сторону меньших частот. Описанное явление называют красным смещением.

Происхождение этого явления можно уяснить себе непосредственно на основании сказанного выше о мировом времени. В силу постоянства поля промежуток мирового времени, в течение которого некоторое колебание в световой волне распространится из одной заданной точки пространства в другую, не зависит от x⁰. Поэтому число колебаний, происходящих в единицу мирового времени, будет одинаковым во всех точках вдоль луча. Но один и тот же промежуток мирового времени соответствует тем большему промежутку собственного времени, чем дальше мы находимся от создающих поле тел. Следовательно, частота, т.е. число колебаний в единицу собственного времени, будет падать при удалении света от этих масс.

При движении частицы в постоянном поле сохраняется ее энергия, определяемая как производная (−c∂S/∂x⁰) от действия по мировому времени; это следует, например, из того, что x⁰ не входит явно в уравнение Гамильтона-Якоби. Определенная таким образом энергия есть временная компонента ковариантного 4-вектора импульса p_k=mcu_k=mcg_kiuⁱ. В статическом поле ds²=g₀₀(dx⁰)²−dl², и мы имеем для энергии, которую обозначим здесь через ₀:

₀ = mc²g₀₀  = mc²g₀₀ .

Введем скорость частицы:

v =  = ,

измеренную в собственном времени, т. е. наблюдателем, находящимся в данном месте. Тогда мы получим для энергии

₀ = .                      (88.9)

Это есть та величина, которая остается постоянной при движении частицы.