Постоянное гравитационное поле

Легко показать, что выражение (88.9) для энергии остается в силе и в стационарном поле, если только скорость v измерять в собственном времени, определенном по часам, синхронизованным вдоль траектории частицы. Если частица выходит из точки A в момент мирового времени x⁰ и приходит в бесконечно близкую точку В в момент x⁰+dx⁰, то для определения скорости надо взять теперь не промежуток времени (x⁰+dx⁰)−x⁰=dx⁰, а разность между x⁰+dx⁰ и моментом x⁰− dx^α, который одновременен в точке B моменту x⁰ в точке А:

(x⁰ + dx⁰) − x⁰ − dx^α = x⁰ + dx^α.

Умножив его на /с, получим соответствующий интервал собственного времени, так что скорость

v^α = ,                 (88.10)

где мы ввели обозначения

g_α = ,  h = g₀₀                             (88.11)

для трехмерного вектора g и для трехмерного скаляра g₀₀. Ковариангные компоненты скорости v как трехмерного вектора в пространстве с метрикой γ_αβ и соответственно квадрат этого вектора надо понимать как

v_α = γ_αβ v^β,  v² = v_αv^α.                    (88.12)

Заметим, что при таком определении интервал ds выражается через скорость формулой, аналогичной обычной формуле

ds² = g₀₀(dx⁰)² + 2g_0αdx⁰dx^α + g_αβdx^αdx^β = h(dx⁰ − g_αdx^α)² − dl² = h(dx⁰ − g_αdx^α)² 1 − .   (88.13)

Компоненты 4-скорости uⁱ= dxⁱ/ds равны

u^α = ,  u⁰ =  + .   (88.14)

Энергия же

₀ = mc²g_0iuⁱ = mc²h(u⁰ − g_αu^α)

и после подстановки (88.14) приобретает вид (88.9).

В предельном случае слабого гравитационного поля и малых скоростей, подставляя g₀₀=1+2φ/с² в (88.9), получим приближенно

₀ = mc² +  + mφ,                                 (88.15)

где mφ — потенциальная энергия частицы в гравитационном поле, что находится в соответствии с функцией Лагранжа (87.10).