Страница 3 из 3
Легко показать, что выражение (88.9) для энергии остается в силе и в стационарном поле, если только скорость v измерять в собственном времени, определенном по часам, синхронизованным вдоль траектории частицы. Если частица выходит из точки A в момент мирового времени x0 и приходит в бесконечно близкую точку В в момент x0+dx0, то для определения скорости надо взять теперь не промежуток времени (x0+dx0)−x0=dx0, а разность между x0+dx0 и моментом x0−
dxα, который одновременен в точке B моменту x0 в точке А:
(x0 + dx0) −
x0 −
dxα
= x0 +
dxα.
Умножив его на
/с, получим соответствующий интервал собственного времени, так что скорость
vα =
, (88.10)
где мы ввели обозначения
gα =
, h = g00 (88.11)
для трехмерного вектора g и для трехмерного скаляра g00. Ковариангные компоненты скорости v как трехмерного вектора в пространстве с метрикой γαβ и соответственно квадрат этого вектора надо понимать как
vα = γαβ vβ, v2 = vαvα. (88.12)
Заметим, что при таком определении интервал ds выражается через скорость формулой, аналогичной обычной формуле
ds2 = g00(dx0)2 + 2g0αdx0dxα + gαβdxαdxβ = h(dx0 − gαdxα)2 − dl2 = h(dx0 − gαdxα)2
1 − 
. (88.13)
Компоненты 4-скорости ui= dxi/ds равны
uα =
, u0 =
+
. (88.14)
Энергия же
0 = mc2g0iui = mc2h(u0 − gαuα)
и после подстановки (88.14) приобретает вид (88.9).
В предельном случае слабого гравитационного поля и малых скоростей, подставляя g00=1+2φ/с2 в (88.9), получим приближенно
0 = mc2 +
+ mφ, (88.15)
где mφ — потенциальная энергия частицы в гравитационном поле, что находится в соответствии с функцией Лагранжа (87.10).