Вращение

Особым случаем стационарных гравитационных полей является поле, возникающее при переходе к равномерно вращающейся системе отсчета.

Для определения интервала ds произведем преобразование от неподвижной (инерциальной) системы к равномерно вращающейся. В неподвижной системе координат r', φ', z', t (мы пользуемся цилиндрическими пространственными координатами) интервал имеет вид

ds² = c²dt² − dr'² − r'²dφ'² − dz'².       (89.1)

Во вращающейся системе цилиндрические координаты пусть будут r, φ, z. Если ось вращения совпадает с осями z и z', то имеем r'=r, z'=z, φ'=φ+Ωt, где Ω — угловая скорость вращения. Подставляя в (89.1), находим искомое выражение для интервала во вращающейся системе отсчета:

ds² = (с² − Ω²r²)dt² − 2Ωr²dφdt − dz² − r²dφ² − dr².   (89.2)

Необходимо отметить, что вращающейся системой отсчета можно пользоваться только до расстояний, равных с/Ω. Действительно, из (89.2) видно, что при r>c/Ω. величина g₀₀ становится отрицательной, что недопустимо. Неприменимость вращающейся системы отсчета на больших расстояниях связана с тем, что скорость вращения сделалась бы на них большей скорости света, и потому такая система не может быть осуществлена реальными телами.

Как и во всяком стационарном поле, на вращающемся теле часы не могут быть однозначно синхронизованы во всех точках. Производя синхронизацию вдоль некоторой замкнутой линии, мы получим, возвратясь в исходную точку, время, отличающееся от первоначального на величину (см. (88.5))

Δt = −  dx^α =   

или, предполагая, что Ωr/c≪1 (т.е. скорость вращения мала по сравнению со скоростью света),

Δt =   r²dφ = ± S,                                (89.3)

где S — площадь проекции контура на плоскость, перпендикулярную к оси вращения (знак + или − имеет место соответственно при обходе контура но или против направления вращения).

Предположим, что по некоторому замкнутому контуру распространяется луч света. Вычислим с точностью до членов порядка v/с время t, которое проходит между отправлением луча света и возвращением его в исходную точку. Скорость света, по определению, всегда равна c, если время синхронизируется вдоль данной замкнутой линии и в каждой точке мы пользуемся собственным временем. Поскольку разница между собственным и мировым временем — порядка v²/с², то при вычислении искомого промежутка времени t с точностью до величин порядка v/с этой разницей можно пренебречь. Поэтому имеем

t =  ± S,

где L — длина контура. Соответственно этому скорость света, измеренная как отношение L/t, оказывается равной

с ± 2Ω .                                           (89.4)

Эту формулу, как и формулу для первого приближения эффекта Доплера, можно легко вывести и чисто классическим путем.