Особым случаем стационарных гравитационных полей является поле, возникающее при переходе к равномерно вращающейся системе отсчета.
Для определения интервала ds произведем преобразование от неподвижной (инерциальной) системы к равномерно вращающейся. В неподвижной системе координат r', φ', z', t (мы пользуемся цилиндрическими пространственными координатами) интервал имеет вид
ds2 = c2dt2 − dr'2 − r'2dφ'2 − dz'2. (89.1)
Во вращающейся системе цилиндрические координаты пусть будут r, φ, z. Если ось вращения совпадает с осями z и z', то имеем r'=r, z'=z, φ'=φ+Ωt, где Ω — угловая скорость вращения. Подставляя в (89.1), находим искомое выражение для интервала во вращающейся системе отсчета:
ds2 = (с2 − Ω2r2)dt2 − 2Ωr2dφdt − dz2 − r2dφ2 − dr2. (89.2)
Необходимо отметить, что вращающейся системой отсчета можно пользоваться только до расстояний, равных с/Ω. Действительно, из (89.2) видно, что при r>c/Ω. величина g00 становится отрицательной, что недопустимо. Неприменимость вращающейся системы отсчета на больших расстояниях связана с тем, что скорость вращения сделалась бы на них большей скорости света, и потому такая система не может быть осуществлена реальными телами.
Как и во всяком стационарном поле, на вращающемся теле часы не могут быть однозначно синхронизованы во всех точках. Производя синхронизацию вдоль некоторой замкнутой линии, мы получим, возвратясь в исходную точку, время, отличающееся от первоначального на величину (см. (88.5))
Δt = − dxα =
или, предполагая, что Ωr/c≪1 (т.е. скорость вращения мала по сравнению со скоростью света),
Δt = r2dφ = ± S, (89.3)
где S — площадь проекции контура на плоскость, перпендикулярную к оси вращения (знак + или − имеет место соответственно при обходе контура но или против направления вращения).
Предположим, что по некоторому замкнутому контуру распространяется луч света. Вычислим с точностью до членов порядка v/с время t, которое проходит между отправлением луча света и возвращением его в исходную точку. Скорость света, по определению, всегда равна c, если время синхронизируется вдоль данной замкнутой линии и в каждой точке мы пользуемся собственным временем. Поскольку разница между собственным и мировым временем — порядка v2/с2, то при вычислении искомого промежутка времени t с точностью до величин порядка v/с этой разницей можно пренебречь. Поэтому имеем
t = ± S,
где L — длина контура. Соответственно этому скорость света, измеренная как отношение L/t, оказывается равной
с ± 2Ω . (89.4)
Эту формулу, как и формулу для первого приближения эффекта Доплера, можно легко вывести и чисто классическим путем.