Уравнения электромагнитного поля специальной теории относительности легко обобщить так, чтобы они были применимы в любой четырехмерной криволинейной системе координат, т. е. в случае наличия гравитационного поля.
Тензор электромагнитного поля в специальной теории относительности определялся как Fik=
−
. Очевидно, что теперь он должен быть соответственно определен как Fik=Ak;i−Ai;k. Но в силу (86.12)
Fik = Ak;i− Ai;k=
−
, (90.1)
так что связь с потенциалом А{, не меняется. Вследствие этого первая пара уравнений Максвелла (26.5)
+
+
= 0 (90.2)
тоже сохраняет свой вид.
Для того чтобы написать вторую пару уравнений Максвелла, надо предварительно определить в криволинейных координатах 4-вектор тока. Это мы сделаем аналогично тому, как мы поступали ранее. Пространственный элемент объема, построенного на элементах пространственных координат dx1, dx2, dx3, есть
dV, где γ — определитель пространственного метрического тензора (84.7), а dV=dx1dx2dx3. Введем плотность зарядов ρ согласно определению de=ρ
dV, где de — заряд, находящийся в элементе объема
dV. Умножив обе части этого равенства на dxi, имеем
de dxi = ρ dxi
dx1dx2dx3 = 
dΩ 
(мы использовали формулу −g=γg00 (84.10)). Произведение
dΩ есть инвариантный элемент 4-объема, так что 4-вектор тока определяется выражением
ji =
(90.3)
(величины dxi/dx0 — скорости изменения координат со «временем» x0 —сами не составляют 4-вектора!). Компонента j0 4-вектора тока, умноженная на
/c, есть пространственная плотность зарядов.
Для точечных зарядов плотность ρ выражается суммой δ-функций аналогично формуле (28.1). При этом, однако, надо уточнить определение этих функций в случае криволинейных координат. Мы будем понимать δ(r) по-прежнему как произведение δ(x1)δ(x2)δ(x3) вне зависимости от геометрического смысла координат x1, x2, x3; тогда равен единице интеграл по dV (а не по
dV): ∫δ(r)dV=1. С таким определением δ-функций плотность зарядов
ρ = 
δ(r − ra),
а 4-вектор тока
ji = 
δ(r − ra)
. (90.4)
Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности, которое отличается от (29.4) лишь заменой обычных производных ковариантными:
ji;i =
(
ji) = 0 (90.5)
(использована формула (86.9)).
Аналогичным образом обобщается вторая пара уравнений Максвелла (30.2); заменяя в них обычные производные ковариантными, находим
Fik;k =
(
Fik) = −
ji (90.6)
(использована формула (86.10)).
Наконец, уравнения движения заряженной частицы в гравитационном и электромагнитном полях получаются заменой в (23.4) 4-ускорения dui/ds на Dui/ds:
mc
= mc 
+
ukul
=
Fikuk. (90.7)