Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля

Уравнения электромагнитного поля специальной теории относительности легко обобщить так, чтобы они были применимы в любой четырехмерной криволинейной системе координат, т. е. в случае наличия гравитационного поля.

Тензор электромагнитного поля в специальной теории относительности определялся как F_ik= − . Очевидно, что теперь он должен быть соответственно определен как F_ik=A_k;i−A_i;k. Но в силу (86.12)

F_ik = A_k;i− A_i;k= − ,              (90.1)

так что связь с потенциалом А{, не меняется. Вследствие этого первая пара уравнений Максвелла (26.5)

+  + = 0                         (90.2)

тоже сохраняет свой вид.

Для того чтобы написать вторую пару уравнений Максвелла, надо предварительно определить в криволинейных координатах 4-вектор тока. Это мы сделаем аналогично тому, как мы поступали ранее. Пространственный элемент объема, построенного на элементах пространственных координат dx¹, dx², dx³, есть dV, где γ — определитель пространственного метрического тензора (84.7), а dV=dx¹dx²dx³. Введем плотность зарядов ρ согласно определению de=ρdV, где de — заряд, находящийся в элементе объема dV. Умножив обе части этого равенства на dxⁱ, имеем

de dxⁱ = ρ dxⁱdx¹dx²dx³ =  dΩ

(мы использовали формулу −g=γg₀₀ (84.10)). Произведение dΩ есть инвариантный элемент 4-объема, так что 4-вектор тока определяется выражением

jⁱ =                                                (90.3)

(величины dxⁱ/dx⁰ — скорости изменения координат со «временем» x⁰ —сами не составляют 4-вектора!). Компонента j⁰ 4-вектора тока, умноженная на /c, есть пространственная плотность зарядов.

Для точечных зарядов плотность ρ выражается суммой δ-функций аналогично формуле (28.1). При этом, однако, надо уточнить определение этих функций в случае криволинейных координат. Мы будем понимать δ(r) по-прежнему как произведение δ(x¹)δ(x²)δ(x³) вне зависимости от геометрического смысла координат x¹, x², x³; тогда равен единице интеграл по dV (а не по dV): ∫δ(r)dV=1. С таким определением δ-функций плотность зарядов

ρ = δ(r − r_a),

а 4-вектор тока

jⁱ =  δ(r − r_a) .                     (90.4)

Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности, которое отличается от (29.4) лишь заменой обычных производных ковариантными:

jⁱ_;i =  ( jⁱ) = 0                    (90.5)

(использована формула (86.9)).

Аналогичным образом обобщается вторая пара уравнений Максвелла (30.2); заменяя в них обычные производные ковариантными, находим

F^ik_;k =  ( F^ik) = −  jⁱ      (90.6)

(использована формула (86.10)).

Наконец, уравнения движения заряженной частицы в гравитационном и электромагнитном полях получаются заменой в (23.4) 4-ускорения duⁱ/ds на Duⁱ/ds:

mc  = mc + u^ku^l =  F^iku_k.     (90.7)