Эйлеровы углы

Как уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инерции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей x₁, x₂, x₃ движущейся системы координат относительно неподвижной системы X, Y, Z качестве этих углов часто оказываются удобными так называемые эйлеровы углы.

Так как нас сейчас интересуют только углы между осями координат, мы выберем начала обеих систем в одной точке (рис. 47). Подвижная плоскость x₁x₂ пересекает неподвижную XY по некоторой прямой (ON на рис. 47), которую называют линией узлов. Эта линия, очевидно, перпендикулярна как к оси Z, так и к оси x₃, ее положительное направление выберем так, чтобы оно соответствовало направлению векторного произведения [zx₃] (где z, x₃ — орты в направлении осей Z и x₃).

Рис. 47

В Качестве величин, определяющих положение осей x₁, x₂, x₃ относительно осей X, Y, Z, примем следующие углы: угол θ между осями Z и x₃, угол φ между осями X и N, угол ψ между осями N и x₁. Углы φ и ψ отсчитываются в направлениях, определяемых правилом винта, соответственно вокруг осей Z и x₃. Угол θ пробегает значения от нуля до , а углы φ и ψ — от нуля до 2.

Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости Ω по подвижным осям x₁, x₂, x₃ через эйлеровы углы и их производные. Для этого надо спроецировать на эти оси угловые скорости , , . Угловая скорость  направлена по линии узлов ON и ее составляющие по осям x₁, x₂, x₃ равны:

₁ =  соs ψ,  ₂ = − sin ψ,  ₃ = 0.

Угловая скорость направлена вдоль оси Z; ее проекция на ось x₃ равна ₃=cosθ, а проекция на плоскость x₁x₂ равна sinθ. Разлагая последнюю на составляющие по осям x₁ и x₂, получим

₁ =  sin θ sin ψ,  ₂ =  sin θ cos ψ.

Наконец, угловая скорость  направлена по оси x₃.