Эйлеровы углы

Собирая все эти составляющие по каждой из осей, получим окончательно:

Ω₁ =  sin θ sin ψ + cos ψ,

Ω₂ =  sin θ cos ψ − sin ψ,          (35.1)

Ω₃ =  cos θ + .

Если оси x₁, x₂, x₃ выбраны по главным осям инерции твердого тела, то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой (10) в (32.8).

Для симметрического волчка, у которого I₁=I₂≠I₃, найдем после простого приведения:

T_вр = (² sin² θ + ²) +  ( cos θ + )².                    (35.2)

Заметим, что это выражение можно получить и проще, воспользовавшись производительностью выбора направлений главных осей инерции x₁, x₂ у симметрического волчка. Считая, что ось x₁ совпадает с осью узлов ON, т.е. что ψ=0, будем иметь для составляющих угловой скорости более простые выражения

Ω₁ = ,  Ω₂ = sin θ,  Ω₃ =  cos θ + .                        (35.3)

В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим с их помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка.

Выберем ось Z неподвижной системы координат в направлении постоянного момента волчка M. Ось x₃ подвижной системы направлена по оси волчка, а ось x₁ пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов. Тогда для компонент вектора M находим с помощью формул (35.3):

M₁ = I₁Ω₁ = I₁,  M₂ = I₂Ω₂ = I₂ sin θ, M₃ = I₃Ω₃ =I₃( cos θ + ).

С другой стороны, поскольку ось x₁ (линия узлов) перпендикулярна к оси Z, имеем

M₁ = 0,  M₂ = M sin θ, M₃ = M cos θ.

Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие уравнения:

= 0,  I₁ = M,  I₃( cos θ + ) = M cos θ.                       (35.4)

Первое из этих уравнений дает θ=const, т.е. постоянство угла наклона оси волчка к направлению M. Второе определяет (в согласии с (33.5)) угловую скорость прецессии =M/I₁. Наконец, третье определяет угловую скорость вращения волчка вокруг собственной оси Ω₃=Mcosθ/I₃.