Уравнения Эйлера

При свободном вращении K=0 и уравнения Эйлера принимают вид

+ Ω₂Ω₃ = 0,

+ Ω₃Ω₁ = 0,                (36.5)

+ Ω₁Ω₂ = 0.

В качестве примера применим эти уравнения к уже рассматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка. Положив I₁=I₂, имеем из третьего уравнения ₃=0, т.е. ₃=const. После этого первые два уравнения напишем в виде

₁ = −ωΩ₂,   ₂ = ωΩ₁,

где введена постоянная величина

ω = Ω₃ .                                            (36.6)

Умножив второе уравнение на i и сложив с первым, получим

(Ω₁ + i Ω₂) = i ω (Ω₁ + i Ω₂),

откуда

Ω₁ + i Ω₂ = Ae ^iwt,

где A — постоянная; последнюю можно считать вещественной (это сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда

Ω₁ = A cos ωt,  Ω₂ = A sin ωt.                                       (36.7)

Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью ω, оставаясь постоянной по величине =А. Поскольку проекция Ω₃ на ось волчка тоже постоянна, то и весь вектор Ω равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси волчка, оставаясь неизменным по величине. Ввиду связи M₁=I₁Ω₁, M₂=I₂Ω₂, M₃=I₃Ω₃ между компонентами векторов Ω и M такое же движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор момента M.

Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было рассмотрено здесь и здесь по отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая скорость вращения вектора M вокруг направления x₃ совпадает, в терминах эйлеровых углов, с угловой скоростью — ψ. С помощью уравнений (35.4) имеем

=  − cos θ = M cos θ −

или в согласии с (36.6),

− = Ω₃ .