Страница 2 из 3
Для определения зависимости компонент Ω (или пропорциональных им компонент M) от времени обратимся к уравнениям Эйлера (36.5). Выразив Ω1 и Ω3 через Ω2 из двух уравнений (37.2), (37.3)
= 
{(2EI3 − M 2) − I2(I3 − I2)
}, 
= 
{(M 2 − 2EI1) − I2(I2 − I1)} (37.6)
и подставив во второе из уравнений (36.5), найдем
= 
Ω1Ω3 = 
{[(2EI3 − M 2) − I2(I3 − I2)][(M 2 − 2EI1) − I2(I2 − I1)]}1/2. (37.7)
Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя, получим функцию t(Ω2) в виде эллиптического интеграла. При приведении его к стандартному виду будем считать для определенности, что
M 2 > 2EI2
(в обратном случае во всех следующих ниже формулах надо переставить индексы 1 и 3). Вводим вместо t и Ω2 новые переменные
= t 
, s = Ω2
(37.8)
и положительный параметр k2<1 согласно
k2 = 
. (37.9)
Тогда получим
= 
(начало отсчета времени условно выбираем в момент, когда Ω2=0). При обращении этого интеграла возникает, как известно, одна из эллиптических функций Якоби
s = sn ,
чем и определяется зависимость Ω2 от времени. Функции Ω2(t) и Ω3(t) выражаются алгебраически через Ω2(t) согласно равенствам (37.6). Учитывая определение двух других эллиптических функций
cn = 
, dn = 
,
получим окончательно следующие формулы:
Ω1 = 
cn ,
Ω2 = 
sn , (37.10)
Ω3 = 
dn ,
Функции (37.10) — периодические, причем их период по переменной равен, как известно, величине 4K, где K есть полный эллиптический интеграл первого рода:
K = 
= 
. (37.11)
Период же по времени дается, следовательно, выражением
T = 4K
. (37.12)
По истечении этого времени вектор Ω, возвращается в свое начальное положение относительно осей волчка. (Самый же волчок при этом отнюдь не возвращается в свое прежнее положение относительно неподвижной системы координат — см. ниже.)
