Страница 3 из 3
При I1=I2 формулы (37.10), разумеется, приводятся к формулам, полученным в предыдущем параграфе для симметрического волчка. Действительно, при I1→I2 параметр k2→0, эллиптические функции вырождаются в круговые:
sn 
→ sin , cn → cos , dn → 1,
и мы возвращаемся к формулам (36.7).
При M2=2EI3 имеем: Ω1=Ω2=0, Ω3=const, т.е. вектор Ω постоянно направлен вдоль оси инерции x3; этот случай соответствует равномерному вращению волчка вокруг оси x3. Аналогичным образом при M2=2EI1 (при этом ≡0) имеем равномерное вращение вокруг оси x1.
Перейдем к определению абсолютного (по отношению к неподвижной системе координат X, Y, Z) движения волчка в пространстве как функции времени. Для этого вводим эйлеровы углы ψ, φ, θ между осями волчка x1, x2, x3 и осями X, Y, Z, выбрав при этом неподвижную ось Z вдоль направления постоянного вектора M. Поскольку полярный угол и азимут направления Z по отношению к осям x1, x2, x3 равны соответственно θ и 
/2−ψ, то, проецируя вектор M на оси x1, x2, x3, получим
M sin θ sin ψ = M1 = I1Ω1,
M sin θ cos ψ = M2 = I2Ω2, (37.13)
M cos θ = M3 = I3Ω3.
Отсюда
cos θ = 
, tg ψ = 
, (37.14)
и, используя формулы (37.10), найдем
cos θ = 
dn , tg ψ = 
, (37.15)
чем и определяется зависимость углов θ и ψ от времени; вместе с компонентами вектора Ω они являются периодическими функциями с периодом (37.12).
Угол φ в формулы (37.13) не входит, и для его вычисления надо обратиться к формулам (10), выражающим компоненты Ω через производные по времени эйлеровых углов. Исключая θ из равенств
Ω1 = 
sin θ sin ψ + 
cos ψ,
Ω2 = sin θ cos ψ − sin ψ,
получим
= 
,
после чего, используя формулы (37.13), найдем
= M 
. (37.16)
Отсюда функция φ(t) определяется квадратурой, но подынтегральное выражение содержит сложным образом эллиптические функции. Путем ряда довольно сложных преобразований этот интеграл может быть выражен через так называемые тэта-функции; не приводя вычислений, укажем лишь их окончательный результат.
Функция φ(t) может быть представлена (с точностью до произвольной аддитивной постоянной) в виде суммы двух членов
φ(t) = φ1(t) + φ2(t), (37.17)
один из которых дается формулой
e2iφ1(t) = 
, (37.18)
где 
— тэта-функция, а 
— вещественная постоянная, определяемая равенством
sn (i • 2K) = i 
(37.19)
(K и T — из (37.11), (37.12)). Функция в правой части (37.18) — периодическая с периодом T/2, так что φ1(t) изменяется на 2 за время T. Второе слагаемое в (37.17) дается формулой
φ2(t) = 2
, 
= 
− 
. (37.20)
Эта функция испытывает приращение 2 за время T'.
Таким образом, движение по углу φ представляет собой совокупность двух периодических изменений, причем один из периодов (T) совпадает с периодом изменения углов ψ и θ, а другой (T') — несоизмерим с первым. Последнее обстоятельство приводит к тому, что при своем движении волчок никогда не возвращается, строго говоря, в свое первоначальное положение.
