Движение в неинерциальной системе отсчета

До сих пор, рассматривая движение любой механической системы, мы всегда относили его к инерциальной системе отсчета. Только в инерциальных системах отсчета функция Лагранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид

L₀ = − U,                                                     (39.1)

и соответственно уравнение движения

m = − 

(мы будем в этом параграфе отличать индексом 0 величины, относящиеся к инерциальной системе отсчета).

Займемся теперь вопросом о том, как выглядят уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета. Отправным пунктом при решении этого вопроса снова является принцип наименьшего действия, применимость которого не ограничена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в силе и уравнения Лагранжа

  = .                                               (39.2)

Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (39.1), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преобразование функции L₀.

Это преобразование мы произведем в два приема. Рассмотрим сначала систему отсчета K', которая движется относительно инерциальной системы K₀ поступательно со скоростью V(t). Скорости v₀ и v' частицы относительно систем K₀ и K' связаны друг с другом соотношением

v₀ = v' + V(t).                                                      (39.3)

Подставив это выражение в (39.1), получим функцию Лагранжа в системе K'

L' = + mv'V +  V² − U.

Но V²(t) есть заданная функция времени; она может быть представлена как полная производная по t от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выражении может быть опущен. Далее, v'=dr'/dt, где r' — радиус-вектор частицы в системе координат K'; поэтому

mV(t)v' = mV = (mVr') − mr' .

Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно:

L' = − mW(t)r' −U,                                           (39.4)

где W=dV/dt — ускорение поступательного движения системы отсчета K'.

Составляя с помощью (39.4) уравнение Лагранжа, получим

m = −  − mW(t).                                                  (39.5)

Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение W и направлена в противоположную этому ускорению сторону.

Введем теперь еще одну систему отсчета, K, которая имеет общее с системой K' начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью Ω(t); по отношению же к инерциальной системе K₀ система K совершает как поступательное, так и вращательное движение.

Скорость v' частицы относительно системы K' складывается из ее скорости v относительно системы K и скорости [Ωr] ее вращения вместе с системой K:

v' = v + [Ωr]

(радиус-векторы r и r' частицы в системах K и K'' совпадают). Подставив это выражение в функцию Лагранжа (39.4), получим

L = + mv[Ωr] + [Ωr]² − mWr − U.                            (39.6)

Это есть общий вид функции Лагранжа частицы в произвольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что вращение системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена совершенно особого вида — линейного по скорости частицы.