Спектральное разложение

Всякую волну можно подвергнуть так называемому спектральному разложению, т.е. представить в виде наложения монохроматических волн с различными частотами. Эти разложения имеют различный характер в зависимости от характера зависимости поля от времени.

К одной категории относятся случаи, когда разложение содержит частоты, образующие дискретный ряд значений. Простейший случай такого рода возникает при разложении чисто периодического (хотя и не монохроматического) поля. Это есть разложение в обычный ряд Фурье; оно содержит частоты, являющиеся целыми кратными «основной» частоты ω₀=2π/Т, где T — период поля. Напишем его в виде

f =  f_ne^−iω₀nt                                       (49.1)

(f — какая-либо из величин, описывающих поле). Величины f_n определяются по самой функции f интегралами

f_n =  f(t)e^inω₀tdt.                                 (49.2)

Ввиду вещественности функции f(t) очевидно, что

f_-n = f_n^*.                                                     (49.3)

В более сложных случаях в разложении могут присутствовать частоты, являющиеся целыми кратными (и их суммами) нескольких различных, несоизмеримых друг с другом основных частот.

При возведении суммы (49.1) в квадрат и усреднении по времени произведения членов с различными частотами обращаются в нуль ввиду наличия в них осциллирующих множителей. Останутся лишь члены вида f_nf_-n=|f_n|². Таким образом, средний квадрат поля (средняя интенсивность волны) представится в виде суммы интенсивностей монохроматических компонент:

= |f_n|² = 2|f_n|²                         (49.4)

(подразумевается, что среднее по периоду значение самой функции f(t) равно нулю, так что f₀ =  = 0).