Собственные колебания поля

Рассмотрим свободное (без зарядов) электромагнитное поле, находящееся в некотором конечном объеме пространства. Для упрощения дальнейших вычислений мы предполагаем, что этот объем обладает формой прямоугольного параллелепипеда со сторонами, равными соответственно А, В, С. Мы можем тогда разложить все величины, характеризующие поле в этом параллелепипеде, в тройной ряд Фурье (по трем координатам).

Напишем это разложение (например, для векторного потенциала) в вид

A = A_k e^ikr.                                            (52.1)

Суммирование производится здесь по всем возможным значениям вектора k, компоненты которого пробегают, как известно, значения

k_x = ,  k_y = ,  k_z= ,                              (52.2)

где n_x, n_y, n_z — положительные или отрицательные целые числа.

В силу вещественности A коэффициенты разложения (52.1) связаны друг с другом равенствами A_−k=. Из уравнения divA=0 следует, что для каждого k

kA_k = 0,                                                        (52.3)

т. е. комплексные векторы A_k «поперечны» к соответствующим волновым векторам k. Векторы A_k являются, конечно, функциями времени; в силу волнового уравнения (46.7) каждый из них удовлетворяет уравнению

Ä_k + с²k²A_k = 0.                                         (52.4)