Собственные колебания поля

Каждый член этой суммы соответствует одному из членов разложения (52.1).

В силу уравнения (52.4) векторы A_k являются гармоническими функциями времени с частотами ω_k=ck, зависящими только от абсолютной величины волнового вектора. В зависимости от выбора этих функций члены разложения (52.1) могут представлять собой стоячие или бегущие плоские волны. Представим разложение поля в таком виде, чтобы его члены изображали бегущие волны. Для этого запишем его в форме

A = (a_ke^ikr + e^−ikr),                                         (52.9)

явным образом выражающей вещественность А, причем каждый из векторов a_k зависит от времени по закону

a_ke^−iω_kt,  ω_k = ck.                                                 (52.10)

Тогда каждый отдельный член в сумме (52.9) будет функцией только от разности kr−ω_kt что соответствует волне, распространяющейся в направлении k.

Сравнив разложения (52.9) и (52.1), находим, что их коэффициенты связаны равенствами

A_k = a_k + ,

а в силу (52.10) производные по времени

_k = −ick(a_k − ).