Страница 1 из 2
Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния r до определенной неподвижной точки; такое поле называют центральным. Сила
F = − 
= − 
,
действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от r и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора.
При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы это есть
М = [rр].
Поскольку векторы М и r взаимно перпендикулярны, постоянство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости — плоскости, перпендикулярной к М.
Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r, φ, напишем функцию Лагранжа в виде
L = 
(
2 + r 2 
2) − U(r ). (14.1)
Эта функция не содержит в явном виде координату φ. Всякую обобщенную координату не входящую явным образом в лагранжеву функцию, называют циклической. В силу уравнения Лагранжа имеем для такой координаты:
= 
= 0,
Т.е. соответствующий ей обобщенный импульс pi = ∂L/∂
i является интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат.
В данном случае обобщенный импульс
рφ = mr 2
совпадает с моментом Mz = М, так что мы возвращаемся к известному уже нам закону сохранения момента
М = mr 2 = const. (14.2)
Заметим, что для плоского движения одной частицы в центральном поле этот закон допускает простую геометрическую интерпретацию. Выражение (1/2)r•rdφ представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории (рис. 8).
Рис. 8
Обозначив ее как dƒ, напишем момент частицы в виде
М = 2m
, (14.3)
где производную называют векториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной скорости — за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (так называемый второй закон Кеплера).
Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не выписывая при этом самих уравнений движения. Выражая через М из (14.2) и подставляя в выражение для энергии, получим
E = (2 + r 2 2) + U(r ) = 
+ 
+ U (r ). (14.4)
Отсюда
≡ 
= 
(14.5)
или, разделяя переменные и интегрируя
t = 
+ const. (14.6)
Далее, написав (14.2) в виде
d φ = 
dt,
подставив сюда dt из (14.5) и интегрируя, находим
φ = 
+ const. (14.7)
