Страница 1 из 3
Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна r и соответственно силы обратно пропорциональны r2. Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля; первые, как известно, имеют характер притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания.
Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором
U = −
/r (15.1)
с положительной постоянной . График «эффективной» потенциальной энергии
Uэф = −
+ 
(15.2)
имеет вид, изображенный на рис. 10.
Рис. 10
При r→0 она обращается в +
, а при r→ стремится к нулю со стороны отрицательных значений; при r=М 2/m она имеет минимум, равный
(Uэф)min = − 
(15.3)
Из этого графика очевидно, что при Е>0 движение частицы будет инфинитным, а при Е<0 — финитным.
Форма траектории получается с помощью общей формулы (14.7). Подставляя в нее U=−/r и производя элементарное интегрирование, получим
φ = arccos 
+ const .
Выбирая начало отсчета угла φ так, чтобы const=0, и вводя обозначения
p = 
, е = 
, (15.4)
перепишем формулу для траектории в виде
p/r = 1 + e cos φ. (15.5)
Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; р и е — так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета φ заключается, как видно из (15.5), в том, что точка с φ=0 является ближайшей к центру (так называемый перигелий орбиты).
В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по закону (15.1), орбита каждой из частиц тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции.
Из (15.4) видно, что при Е<0 эксцентриситет е<1, т.е. орбита является эллипсом (рис. 11) и движение финитно В соответствии со сказанным в начале параграфа.
Рис. 11
Согласно известным формулам аналитической геометрии большая и малая полуоси эллипса
α = 
= 
, b = 
= 
. (15.6)
