Страница 3 из 3
Полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра ξ от нуля до 2
.
Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату
r = α (е ch ξ − 1), t = 
(е sh ξ − ξ), х = α (е − сh ξ), y = α 
sh ξ, (15.12)
где параметр ξ пробегает значения от −
до +.
Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором
U = 
(15.13)
(
>0). В этом случае эффективная потенциальная энергия
Uэф = + 
монотонно убывает от + до нуля при изменении r от нуля до . Энергия частицы может быть только положительной и движение всегда инфинитно. Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше. Траектория является гиперболой
= −1 + е соs φ (15.14)
(р и e определяются прежними формулами (15.4)). Она проходит мимо центра поля, как показано на рис. 13.
Рис. 13
Расстояние перигелия
rmin = 
= α (е + 1). (15.15)
Зависимость от времени дается параметрическими уравнениям
r = α (е ch ξ + 1), t = (е sh ξ + ξ), х = α (сh ξ +e), y = α sh ξ . (15.16)
В заключение укажем, что при движении в поле U=/r (с любым знаком ) имеется интеграл движения, специфический именно для этого поля. Легко проверить непосредственным вычислением, что величина
[vM] + 
= const. (15.17)
Действительно, ее полная производная по времени равна
[
M] + 
− 
,
или, подставив М=m[rv]:
mr (v) − mv (r) + − ;
положив здесь согласно уравнениям движения m=r/г3, мы найдем, что это выражение обращается в нуль.
Сохраняющийся вектор (15.17) направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию, а по величине равен е. В этом проще всего можно убедиться, рассмотрев его значение в перигелии.
Подчеркнем, что интеграл движения (15.17), как и интегралы М и Е, является однозначной функцией состояния (положения и скорости) частицы.
