Поле системы зарядов на далеких расстояниях

Рассмотрим поле, создаваемое системой движущихся зарядов на расстояниях, больших по сравнению с ее собственными размерами.

Выберем начало координат O где-либо внутри системы зарядов. Радиус-вектор из О в точку наблюдения поля Р обозначим через R₀, а единичный вектор в этом направлении через n. Радиус-вектор элемента заряда dе=ρdV пусть будет r, а радиус-вектор от de в точку Р обозначим как R; очевидно, что R=R₀−r.

На больших расстояниях от системы R₀≫r и приближенно имеем

R = |R₀ − г| = R₀ − nr.

Подставим это в формулы (62.9), (62.10) для запаздывающих потенциалов. В знаменателе подынтегральных выражений можно пренебречь rn по сравнению с R₀. В аргументе же t−R/с этого пренебрежения, вообще говоря, сделать нельзя; возможность такого пренебрежения определяется здесь не относительной величиной R₀/с и rn/с, а тем, насколько меняются сами ρ и j за время rn/с. Учитывая, что при интегрировании R₀ является постоянной и потому может быть вынесено за знак интеграла, находим для потенциалов поля на большом расстоянии от системы зарядов следующие выражения:

φ =   ρ_{t−R0/c+rn/c} dV,                     (66.1)

А =   j_{t−R0/c+rn/c} dV.                    (66.2)

На достаточно больших расстояниях от системы поле в малых участках пространства можно рассматривать как плоскую волну. Для этого надо, чтобы расстояния были велики не только по сравнению с размерами системы, но и по сравнению с длиной излучаемых системой электромагнитных волн. Об этой области поля говорят как о волновой зоне излучения.

В плоской волне поля Е и Н связаны друг с другом соотношением (47.4) Е=[Нn]. Поскольку Н=rotА, то для полного определения поля в волновой зоне достаточно вычислить только векторный потенциал. В плоской волне имеем Н=[n]/с (ср. (47.3)), где точка над буквой означает дифференцирование по времени. Таким образом, зная А, найдем Н и Е по формулам

Н = [n],  Е = [[n]n].                 (66.3)

Отметим, что поле на далеких расстояниях оказывается обратно пропорциональным первой степени расстояния R₀ от излучающей системы. Следует также заметить, что время t входит в выражения (66.1)-(66.3) везде в комбинации t−R₀/с с расстоянием R₀.