Страница 1 из 6
В этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью света.
Равномерное движение системы как целого (т. е. движение ее центра инерции) не представляет интереса, так как не приводит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только относительное движение частиц. Выберем начало координат в центре инерции. Тогда дипольный момент системы d=e1r1+e2r2 напишется в виде
d = 
r = μ 
− 
r, (70.1)
где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, r=r1−r2 есть радиус-вектор между ними, а μ=(m1m2)/(m1+m2) — приведенная масса.
Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое движение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как известно из механики, это движение может быть описано как движение частицы с массой μ по эллипсу, уравнение которого в полярных координатах имеет вид
1 + ε cоsφ = 
, (70.2)
где большая полуось a и эксцентриситет ε равны
a = 
, ε = 
. (70.3)
Здесь 
есть полная энергия частиц (без энергии покоя!), отрицательная при финитном движении; М=μr2φ — момент количества движения; α — постоянная закона Кулона:
α = |e1e2|.
Зависимость координат от времени может быть записана в виде параметрических уравнений
r = a (1 − ε cosξ), t = 
(ξ − ε sinξ). (70.4)
Одному полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра ξ от нуля до 2π; период движения равен
Т = 2π.
Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору r, то задача сводится к вычислению компонент Фурье от координат x=r cosφ и y=r sinφ. Зависимость x и y от времени определяется параметрическими уравнениями
x = a(cosξ − ε), y = a
sinξ, ω0t = ξ − ε sinξ. (70.5)
