Излучение при кулоновом взаимодействии

Здесь введена частота

ω₀ =  = = .

Вместо компонент Фурье от координат удобнее вычислять компоненты Фурье от скоростей, воспользовавшись тем, что =−iω₀nx_n, =−iω₀ny_n. Имеем

 x_n = = e^iω₀nt dt.

Но  dt=dx=−a sinξ dξ; переходя от интегрирования по dt к интегрированию по dξ, имеем, таким образом:

 x_n = − e^{in(ξ−ε sinξ)} sinξ dξ.

Аналогичным образом находим

y_n = e^{in(ξ−ε sinξ)} cosξ dξ =  e^{in(ξ−ε sinξ)} dξ

(при переходе от первого интеграла ко второму в подынтегральном выражении пишем cosξ ≡cosξ − + ; тогда интеграл от первого члена берется и притом тождественно обращается в нуль). Наконец, воспользуемся известной формулой теории функций Бесселя:

e^{i(nξ−x sinξ)} dξ =  cos(nξ − x sinξ = J_n (x),       (70.6)

где J_n (x) — функция Бесселя целочисленного порядка n. В результате окончательно получаем следующие выражения для искомых компонент Фурье:

x_n = J'_n (nε),   y_n =  J_n(nε)                            (70.7)

(штрих y функции Бесселя обозначает дифференцирование по ее аргументу).