Излучение при кулоновом взаимодействии

Вычисление компонент Фурье (речь идет теперь о разложении в интеграл Фурье) производится в точности аналогично предыдущему случаю. В результате получаем

x_ω =  '(ivε),   y_ω =  (ivε),       (70.15)

где  — функция Ганкеля 1-го рода ранга iv и введено обозначение

v =  =                                                     (70.16)

(v₀ — относительная скорость частиц на бесконечности; энергия ξ=μ/2). При вычислении использована известная формула

e^{pξ−ix sh ξ} dξ = iπ(ix).                                    (70.17)

Подставляя (70.15) в формулу

d_ω =  − (|x_ω|² + |y_ω|²) 

(см. (67.10)), получим

d_ω =  − '(ivε) + (ivε)dω.       (70.18)

Большой интерес представляет «эффективное излучение» при рассеянии пучка параллельно движущихся частиц. Для его вычисления умножаем d_ω на 2πρ dρ и интегрируем по всем ρ от нуля до бесконечности. Интегрирование по dρ заменяем интегрированием по dε (в пределах от 1 до ∞), воспользовавшись тем, что 2πρ dρ=2πa²ε dε это соотношение получается из определений (70.12), в которых момент M и энергия  связаны с прицельным расстоянием ρ и скоростью v₀ посредством

М = ρμv₀,    = .

Получающийся интеграл берегся с помощью формулы

z + − 1 = (zZ_pZ'_p),

где Z_p(z) — любое решение уравнения Бесселя порядка p. Имея в виду, что при ε→∞ функция Ганкеля (ivε) обращается в нуль, получим в результате следующую формулу:

dϰ_ω =   − |(iv)|′(iv) dω.        (70.19)