Страница 5 из 6
Рассмотрим особо предельные случаи малых и больших частот. В интеграле
eiv(ξ−sh ξ) dξ = iπHiv (iv), (70.20)
определяющем функцию Ганкеля, существенна только та область значений переменной интегрирования ξ, в которой экспонента имеет порядок величины единицы. При малых частотах (v≪1) существенна поэтому область больших ξ. Но при больших ξ имеем shξ≫ξ. Таким образом, приближенно
(iv) ≈ − 
eiv sh ξ dξ = 
(iv).
Аналогичным образом найдем, что
′ (iv) ≈ ′(iv).
Воспользовавшись, наконец, известным из теории функций Бесселя приближенным выражением (при малых x)
i(iv) ≈ 
ln 
(γ=eC, где С — постоянная Эйлера; γ=1,781...), получим следующее выражение для эффективного излучения при малых частотах:
dϰω = 
− 
ln 
dω при ω ≪ 
. (70.21)
Оно зависит от частоты логарифмически.
При больших частотах (v≫1) в интеграле (70.20) существенны, напротив, малые ξ. Соответственно этому разлагаем экспоненту подынтегрального выражения по степеням ξ и имеем приближенно:
(iv) ≈ − 
exp − 
ξ3dξ = − 
Re 
exp − ξ3dξ
.
Этот интеграл подстановкой ivξ3/6=η приводится к Г-функции, и в результате получается
(iv) ≈ − 
Г
.
Аналогичным образом найдем
′ (iv) ≈ 
Г
.
