Излучение быстро движущегося заряда

Рассмотрим теперь заряженную частицу, движущуюся со скоростью не малой по сравнению со скоростью света.

Формулы, выведенные в предположении υ≪c, неприменимы к этому случаю непосредственно. Мы можем, однако, рассматривать частицу в той системе отсчета, в которой она в данный момент покоится; в этой системе отсчета упомянутые формулы, очевидно, применимы (обращаем внимание на то, что это возможно сделать лишь в случае одной движущейся частицы; для нескольких частиц не существует, вообще говоря, системы отсчета, в которой бы все они одновременно покоились).

Таким образом, в указанной системе отсчета частица излучает в течение времени dt энергию

d = ω²dt                                          (73.1)

(согласно формуле (67.9)), где ω — ускорение частицы в этой же системе. Полный же излучаемый ею импульс в рассматриваемой системе отсчета равен нулю

dP= 0.                                                     (73.2)

Действительно, излучение импульса определяется как интеграл от плотности потока импульса в поле излучения по замкнутой поверхности, охватывающей частицу. Но в силу свойств симметрии дипольного излучения импульсы, уносимые в противоположных направлениях, одинаковы по величине и противоположны по направлению; поэтому указанный интеграл обращается тождественно в нуль.

Для перехода к произвольной системе отсчета перепишем формулы (73.1) и (73.2) в четырехмерном виде. Легко видеть, что «излучение 4-импульса» dPⁱ должно быть записано как

dPⁱ = −    dxⁱ = −    uⁱds.              (73.3)

Действительно, в системе отсчета, в которой частица покоится, пространственные компоненты 4-скорости uⁱ равны нулю, а =−; поэтому пространственные компоненты а dPⁱ обращаются в нуль, а временная дает равенство (73.1).

Полное излучение 4-импульса за время пролета частицы через данное электромагнитное поле равно интегралу от выражения (73.3), т.е.

ΔPⁱ = −     dxⁱ.                   (73.4)

Перепишем эту формулу в другом виде, выразив 4-ускорение duⁱ/ds через тензор внешнего электромагнитного поля с помощью уравнений движения (23.4):

mc = F_kl u^l.

Мы получим тогда

ΔPⁱ = −  (F_kl u^l) (F^km u_m)dxⁱ.           (73.5)

Временная компонента уравнения (73.4) или (73.5) дает полное излучение энергии d. Подставляя для четырехмерных величин их выражения через трехмерные величины, получим

d =   dt                       (73.6)

(w = — ускорение частицы), или, через внешние электрическое и магнитное поля:

d =I dt,  I = .   (73.7)

Выражения для полного излучения импульса отличаются лишним множителем v под знаком интеграла.

Из формулы (73.7) видно, что при скоростях, близких к скорости света, полное излучение энергии в единицу времени зависит от скорости в основном как (1−υ²/с²)⁻¹, т. е. пропорционально квадрату энергии движущейся частицы. Исключение представляет только движение в электрическом поле параллельно направлению поля. В этом случае множитель (1−υ²/с²), стоящий в знаменателе, сокращается с таким же множителем в числителе, и излучение оказывается не зависящим от энергии частицы.