Торможение излучением в релятивистском случае

Выведем релятивистское выражение для торможения излучением (для одного заряда), применимое и при движении со скоростями порядка скорости света. Эта сила будет теперь 4-вектором gⁱ, которым надо дополнить уравнение движения заряда, написанное в четырехмерном виде:

mc  =  F^ik u_k + gⁱ                               (76.1)

Для определения gⁱ заметим, что при v≪с с его три пространственные компоненты должны перейти в компоненты вектора f/c (75.8). Легко видеть, что этим свойством обладает 4-вектор , однако, не удовлетворяет тождеству gⁱu_i=0, которое имеет место для компонент всякого 4-вектора силы. Для того чтобы удовлетворить этому условию, надо прибавить к написанному выражению некоторый дополнительный 4-вектор, составленный из 4-скорости uⁱ и ее производных. Три пространственные компоненты этого вектора должны обращаться в предельном случае v=0 в нуль так, чтобы не изменить правильного значения f, которое уже дается выражением . Этим свойством обладает 4-вектор uⁱ, и потому искомый дополнительный
член должен иметь вид αuⁱ. Скаляр α надо выбрать так, чтобы удовлетворить соотношению gⁱu_i=0. В результате находим

gⁱ = − (uⁱu^k) .                     (76.2)

Полученную формулу можно переписать в другом виде, выразив, согласно уравнениям движения, производные d²uⁱ/ds² через тензор действующего на частицу внешнего электромагнитного поля:

=  F^iku_k,  =   u_ku^l + F^ikF_klu^l.

При подстановке надо иметь в виду, что произведение антисимметричного по индексам i, k тензора ∂F^ik/∂x^l на симметричный тензор u_iu_k дает нуль. Итак,

gⁱ = u_ku^l − F^ilF_klu^k + (F_klu^l)(F^kmu_m)uⁱ.   (76.3)

Интеграл от 4-силы gⁱ, взятый по мировой линии движения заряда, пролетающего через заданное поле, должен совпасть (с обратным знаком) с полным излучением зарядом 4-импульса ΔРⁱ (подобно тому как среднее значение работы силы f в нерелятивистском случае совпадает с интенсивностью дипольного излучения — см. (75.6)). Легко убедиться в том, что это действительно так. Первый член в (76.2) при интегрировании обращается в нуль, поскольку на бесконечности частица не имеет ускорения, т. е. duⁱ/ds=0. Второй член интегрируем по частям и получаем

−gⁱ ds =  uⁱu^k  ds = −   dxⁱ,

что в точности совпадает с (73.4).

Когда скорость частицы приближается к скорости света, в пространственных компонентах 4-вектора (76.3) наиболее быстро возрастает часть, происходящая от члена, содержащего тройные произведения компонент 4-скорости. Сохраняя поэтому лишь этот член в (76.3) и учитывая связь (9.18) между пространственными компонентами 4-вектора gⁱ и трехмерной силой f, находим для последней

f =  (F_klu^l)(F^kmu_m)n,

где n— единичный вектор в направлении v. Следовательно, в этом случае сила f направлена против направления скорости частицы; выбирая последнее в качестве оси x и раскрывая четырехмерные выражения, получим

f_x = −            (76.4)

(везде, за исключением знаменателя, положено ν=с). Мы видим, что для ультрарелятивистской частицы сила торможения пропорциональна квадрату ее энергии.