Спектральное разложение излучения в ультрарелятивистском случае

Излучение ультрарелятивистской частицы направлено в основном вперед, вдоль скорости частицы: оно почти целиком заключено в малом интервале углов

Δθ ~ 

вокруг направления v.

Для вычисления спектрального разложения излучения существенно взаимоотношение между величиной этого интервала и полным углом отклонения α частицы при пролете через внешнее электромагнитное поле.

Угол α может быть оценен следующим образом. Поперечное (к направлению движения) изменение импульса частицы порядка величины произведения поперечной силы eF на время пролета через поле t ~ a/ʋ≈a/c (где а — расстояние, на котором поле заметно отлично от нуля). Отношение этой величины к импульсу

p =  ≈ +

и определит порядок величины малого угла α:

α ~  .

Разделив его на Δθ, найдем

 ~  .                          (77.1)

Обратим внимание на то, что это отношение не зависит от скорости частицы и целиком определяется свойствами самого внешнего поля.

Предположим сначала, что

eFa ≫ mс²,                            (77.2)

т. е. полный угол отклонения частицы велик по сравнению с Δθ. Тогда мы можем утверждать, что излучение в заданном направлении происходит в основном с того участка траектории, на котором скорость частицы почти параллельна этому направлению (образует с ним угол в интервале Δθ) и длина этого участка мала по сравнению с а. На таком участке поле F можно считать постоянным и поскольку малый участок кривой можно рассматривать как отрезок окружности, то мы можем применить результаты, полученные для излучения при равномерном движении по окружности (заменив при этом Н на F). В частности, можно утверждать, что основная часть излучения будет сосредоточена в области частот

ω ~                 (77.3)

(см. (74.16)).

В обратном предельном случае

eFa ≪ mс²                                 (77.4)

полный угол отклонения частицы мал по сравнению с Δθ. В этом случае все излучение происходит в основном в один узкий интервал углов Δθ вокруг направления движения, определяясь при этом всей траекторией частицы.

Для вычисления спектрального разложения интенсивности в этом случае удобно исходить из выражения для поля в волновой зоне излучения в форме Лиенара-Вихерта (73.8). Вычислим компоненту Фурье

Е_ω = Ее^iωt dt.

Выражение в правой части формулы (73.8) есть функция запаздывающего момента времени t', определяющегося из условия t'=t−R(t')/с. На больших расстояниях от частицы, движущейся с почти постоянной скоростью v, имеем

t' ≈ t − +  nr (t') ≈ t − +  nv t'

(г=г(t')≈vt' — радиус-вектор частицы), или

t = t' 1 − + .