Рассеяние волн с большими частотами

Рассмотрим теперь рассеяние волн системой зарядов в обратном случае, когда частота ω волны велика по сравнению с основными собственными частотами системы. Последние имеют порядок величины ω₀~υ/а, так что ω должно удовлетворять условию

ω ≫ ω₀ ~ .                        (80.1)

Кроме того, мы будем предполагать, что скорости зарядов в системе малы (υ≪с).

Согласно условию (80.1) период движения зарядов в системе велик по сравнению с периодом волны. Поэтому в течение промежутков времени порядка периода волны движение зарядов в системе можно считать равномерным. Это значит, что при рассмотрении рассеяния коротких волн можно не учитывать взаимодействия зарядов в системе друг с другом, т. е. их можно считать свободными.

Таким образом, при вычислении скорости v', приобретаемой зарядом в поле падающей волны, мы можем рассматривать каждый заряд системы в отдельности и писать для него уравнение движения в виде

m  = eE = eE₀e^{−i(ωt−kr)},

где k=ωn/c— волновой вектор падающей волны. Радиус-вектор заряда является, конечно, функцией времени. В показателе экспоненциального множителя в правой части этого уравнения скорость изменения первого члена со временем велика по сравнению со скоростью изменения второго (первая равна ω, а вторая — порядка kυ~υω/с≪ω). Поэтому при интегрировании уравнений движения можно считать в правой их части r постоянным. Тогда

v' = − E₀e^{−i(ωt−kr)}.                         (80.2)

Для векторного потенциала рассеянной волны (на больших расстояниях от системы) имеем согласно (79.1):

А' =  (ev') ,

где сумма берется по всем зарядам системы. Подставляя сюда (80.2), находим

А' = exp −iω t − E₀ e^−iqr ,               (80.3)

где q=k'−k есть разность между волновым вектором рассеянной k'=ωn'/с и волновым вектором падающей k=ωn/с волн. Значение суммы в (80.3) должно браться в момент времени t'=t−R₀/с, так как изменением r за время rn'/с можно пренебречь ввиду предполагаемой малости скоростей частиц (индекс t', как обычно, для краткости опускаем). Абсолютная величина вектора q равна

q = 2  sin ,                                                                     (80.4)

где ϑ — угол рассеяния.

При рассеянии на атоме (или молекуле) в сумме в (80.3) можно пренебречь членами, соответствующими ядрам, ввиду большой величины их масс по сравнению с массами электронов. Ниже мы будем иметь в виду именно этот случай, соответственно чему вынесем множитель е²/m за знак суммы, понимая в нем под e и m заряд и массу электрона.

Для поля Н' рассеянной волны находим согласно (66.3):

Н' =  exp −iω t − e^−iqr .                    (80.5)

Поток энергии в элемент телесного угла в направлении n' равен

  do =  [n'E₀]² e^−iqrdo.

Разделив это на поток энергии с|Е₀|²/8π падающей волны и вводя угол θ между направлением поля Е падающей волны и направлением рассеяния, находим окончательно сечение рассеяния в виде    _

dσ =   sin²θ do.                                     (80.6)

Черта обозначает усреднение по времени, т.е. усреднение по движению зарядов в системе; оно производится ввиду того, что рассеяние наблюдается в промежутки времени, достаточно большие по сравнению с периодом движения зарядов в системе.