Страница 2 из 2
Для длины волны падающего излучения из условия (80.1) следует неравенство λ≪ас/υ. Что же касается относительной величины λ и а, то возможны оба предельных случая λ≫а и λ≪а. В обоих этих случаях общая формула (80.6) значительно упрощается.
При λ≫а в выражении (80.6) qг≪1, поскольку q~1/λ, r~а. Заменяя соответственно этому eiqr единицей, имеем
dσ = Z2 
sin2θ do, (80.7)
т. е. рассеяние пропорционально квадрату числа Z электронов в атоме.
Перейдем к случаю λ≪а. В квадрате суммы в (80.6) наряду с равными единице квадратами модуля каждого из членов имеются произведения вида eiq(r1−r2). При усреднении по движению зарядов, т. е. по их взаимным расположениям в системе, разности r1−г2 пробегают значения в интервале порядка а. Поскольку q~1/λ, λ≪а, то экспоненциальный множитель eiq(r1−r2) является в этом интервале быстро осциллирующей функцией, и его среднее значение обращается в нуль. Таким образом, при λ≪а сечение рассеяния равно
dσ = Z sin2θ do, (80.8)
т. е. пропорционально первой степени атомного номера. Замегим, что эта формула неприменима при малых углах рассеяния (ϑ~λ/а), так как в этом случае q~ϑ/λ~1/а и показатель qr невелик по сравнению с единицей.
Для определения сечения когерентного рассеяния мы должны выделить ту часть ноля рассеянной волны, которая имеет частоту ω. Выражение (80.5) для поля зависит от времени через множитель e−iωt и, кроме того, от времени зависит также сумма ∑e−iqr. Эта последняя зависимость и приводит к тому, что в поле рассеянной волны содержатся наряду с частотой ω еще и другие (хотя и близкие к ней) частоты. Та часть поля, которая обладает частотой ω (т. е. зависит от времени только посредством множителя e−iωt), получится, очевидно, если усреднить по времени сумму ∑e−iqr. Соответственно этому выражение для сечения когерентного рассеяния dσког отличается от полного сечения dσ тем, что вместо среднего значения квадрата модуля суммы в нем стоит квадрат модуля среднего значения суммы:
dσког = 
sin2θ do. (80.9)
Полезно заметить, что это среднее значение суммы есть (с точностью до коэффициента) не что иное, как пространственная компонента Фурье от среднего распределения ρ(r) плотности электрического заряда в атоме:
e 
= 
ρ(r)e−iqr Vd = ρq . (80.10)
При λ≫а мы можем снова заменить e−iqr единицей, так что
(80.11)
Сравнивая это с полным сечением (80.7), мы видим, что dσког=dσ, т. е. все рассеяние является когерентным.
Если же λ≪а, то при усреднении в (80.9) все члены суммы (как средние значения быстро осциллирующих функций времени) исчезают, так что dσког=0. Таким образом, в этом случае рассеяние целиком некогерентно.
