Уравнения Гамильтона

Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики.

Переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования, известного в математике под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему.

Подробнее: Уравнения Гамильтона

Функция Рауса

В некоторых случаях может оказаться целесообразным при переходе к новым переменным заменить на импульсы не все обобщенные скорости, а только некоторые из них. Соответствующее преобразование вполне аналогично произведенному в предыдущем параграфе.

Для упрощения записи формул предположим сначала, что имеются всего две координаты, которые мы обозначим, как q и ξ, и произведем преобразование от переменных q, ξ, , к переменным q, ξ, p, , где p — обобщенный импульс, соответствующий координате q.

Подробнее: Функция Рауса

Скобки Пуассона

Пусть ƒ(p, q, t) — некоторая функция координат, импульсов и времени. Составим ее полную производную по времени

= + _k + _k.

Подставив сюда вместо  и  их выражения из уравнений Гамильтона (40.4), получим

= + {Hƒ},                                                    (42.1)

где введено обозначение

{Hƒ} =  − .                               (42.2)

Выражение (42.2) называют скобками Пуассона для величин H и ƒ.

Подробнее: Скобки Пуассона

Действие как функция координат

При формулировке принципа наименьшего действия мы рассматривали интеграл

S = L dt,                                                (43.1)

взятый по траектории между двумя заданными положениями q⁽¹⁾ и q⁽²⁾, которые система занимает в заданные моменты времени t₁ и t₂. При варьировании же действия сравнивались значения этого интеграла для близких траекторий с одними и теми же значениями q(t₁) и q(t₂). Лишь одна из этих траекторий отвечает минимальному движению — та, для которой интеграл S минимален.

Подробнее: Действие как функция координат

Принцип Мопертюи

Принципом наименьшего действия движение механической системы определяется полностью: путем решения следующих из этого принципа уравнений движения можно найти как форму траектории, так и зависимость положения на траектории от времени.

Если ограничиться более узким вопросом об определении лишь самой траектории (оставляя в стороне временную часть задачи), то оказывается возможным установить для этой цели упрощенную форму принципа наименьшего действия.

Подробнее: Принцип Мопертюи

Канонические преобразования

Выбор обобщенных координат q не ограничен никакими условиями — ими могут быть любые s величин, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Формальный вид уравнений Лагранжа (2.6) не зависит от этого выбора, и в этом смысле можно сказать, что уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию от координат q₁, q₂,... к любым другим независимым величинам Q₁, Q₂,... Новые координаты Q являются функциями старых координат q, причем допустим и такой их выбор, при котором эта связь содержит в явном виде также и время, т.е. речь идет о преобразованиях вида

Q_i = Q_i (q,t)                                                   (45.1)

(их называют иногда точечными преобразованиями).

Подробнее: Канонические преобразования

Теорема Лиувилля

Для геометрической интерпретации механических явлений часто пользуются понятием о так называемом фазовом пространстве как о пространстве 2s измерений, на координатных осях которого откладываются значения s обобщенных координат и s импульсов данной механической системы. Каждая точка этого пространства отвечает определенному состоянию системы. При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой траекторией. Произведение дифференциалов

d Γ = dq₁ ... dq_s dp₁ ... dp_s

можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства.

Подробнее: Теорема Лиувилля

Уравнение Гамильтона-Якоби

Ранее было введено понятие о действии как функции координат и времени. Было показано, что частная производная по времени от этой функции S(q,t) связана с функцией Гамильтона соотношением

+ H (q,p,t) = 0,

а ее частные производные по координатам совпадают с импульсами. Заменив в соответствии с этим импульсы р в функции Гамильтона производными дв/дд, мы получим уравнение

+ H q₁,...,q_s; ,..., ; t = 0,                              (47.1)

которому должна удовлетворять функция    Это уравнение в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона-Якоби.

Подробнее: Уравнение Гамильтона-Якоби

Разделение переменных

В ряде важных случаев нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби может быть достигнуто путем так называемого разделения переменных, сущность которого состоит в следующем.

Допустим, что какая-либо координата — обозначим ее через q₁ — и соответствующая ей производная ∂S/∂q₁ входят в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде некоторой комбинации φ(q₁,∂S/∂q₁), не содержащей никаких других координат (или времени) и производных, т.е. уравнение имеет вид

Фq_i, t, , , φq₁, = 0,                   (48.1)

где q_i обозначает совокупность всех координат за исключением q₁.

Подробнее: Разделение переменных

Адиабатические инварианты

Рассмотрим механическую систему, совершающую одномерное финитное движение и характеризующуюся некоторым параметром λ, определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится.

Подробнее: Адиабатические инварианты