Уравнения Гамильтона

При подстановке сюда _i и _i из уравнений (40.4) последние два члена взаимно сокращаются, так что

=  .                                                              (40.5)

В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то dH/dt=0, т.е. мы снова приходим к закону сохранения энергии.

Наряду с динамическими переменными q,  или q, p функции Лагранжа и Гамильтона содержат различные параметры — величины, характеризующие свойства самой механической системы или действующего на нее внешнего поля. Пусть λ — такой параметр. Рассматривая его как переменную величину, будем иметь вместо (40.1) выражение вида

dL =  _i dq_i +  p_i d_i +  dλ,

после чего вместо (40.3) получим

dH = − _i dq_i + _i dp_i − dλ.

Отсюда находим соотношение

=                                           (40.6)

связывающее частные производные по параметру λ от функций Лагранжа и Гамильтона; индексы у производных заказывают, что дифференцирование должно производиться в одном случае при постоянных p и q, а в другом — при постоянных q и .

Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид L=L₀+L', где L' представляет собой малую добавку к основной функции L₀. Тогда соответствующая добавка в функции Гамильтона H=H₀+H' связана с L' соотношением

(H' )_p,q = −(L' )_,q .                                         (40.7)

Заметим, что в преобразовании от (40.1) к (40.3) мы не писали члена с dt, учитывающего возможную явную зависимость функции Лагранжа от времени, поскольку последнее играло бы в данном аспекте лишь роль параметра, не имеющего отношения к производимому преобразованию. Аналогично формуле (40.6) частные производные по времени от L и от H связаны соотношением

= .                                               (40.8)