Страница 2 из 2
При подстановке сюда
i и
i из уравнений (40.4) последние два члена взаимно сокращаются, так что
=
. (40.5)
В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то dH/dt=0, т.е. мы снова приходим к закону сохранения энергии.
Наряду с динамическими переменными q,
или q, p функции Лагранжа и Гамильтона содержат различные параметры — величины, характеризующие свойства самой механической системы или действующего на нее внешнего поля. Пусть λ — такой параметр. Рассматривая его как переменную величину, будем иметь вместо (40.1) выражение вида
dL =
i dqi +
pi d
i +
dλ,
после чего вместо (40.3) получим
dH = −
i dqi +
i dpi −
dλ.
Отсюда находим соотношение


= 

(40.6)
связывающее частные производные по параметру λ от функций Лагранжа и Гамильтона; индексы у производных заказывают, что дифференцирование должно производиться в одном случае при постоянных p и q, а в другом — при постоянных q и
.
Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид L=L0+L', где L' представляет собой малую добавку к основной функции L0. Тогда соответствующая добавка в функции Гамильтона H=H0+H' связана с L' соотношением
(H' )p,q = −(L' )
,q . (40.7)
Заметим, что в преобразовании от (40.1) к (40.3) мы не писали члена с dt, учитывающего возможную явную зависимость функции Лагранжа от времени, поскольку последнее играло бы в данном аспекте лишь роль параметра, не имеющего отношения к производимому преобразованию. Аналогично формуле (40.6) частные производные по времени от L и от H связаны соотношением


= 

. (40.8)