В некоторых случаях может оказаться целесообразным при переходе к новым переменным заменить на импульсы не все обобщенные скорости, а только некоторые из них. Соответствующее преобразование вполне аналогично произведенному в предыдущем параграфе.
Для упрощения записи формул предположим сначала, что имеются всего две координаты, которые мы обозначим, как q и ξ, и произведем преобразование от переменных q, ξ, 
, 
к переменным q, ξ, p, , где p — обобщенный импульс, соответствующий координате q.
Дифференциал функции Лагранжа L(q, ξ, , ) равен
dL = 
dq + 
d + 
dξ + 
d = 
dq + p d + dξ + d,
откуда получаем
d (L − p) = dq − dp + dξ + d.
Введем функцию (так называемую функцию Рауса)
R (q, p, ξ, ) = p − L, (41.1)
в которой скорость выражена через импульс p при помощи равенства p=∂L/∂. Дифференциал
dR = − dq + dp − dξ − d. (41.2)
Откуда следует, что
= 
, = − 
, (41.3)
= − 
, = − 
. (41.4)
Подставляя последние равенства в уравнение Лагранжа для координаты ξ, получим
= . (41.5)
Таким образом, функция Рауса является гамильтоновой по отношению к координате q (уравнения (41.3)) и лагранжевой по отношению к координате ξ (уравнение (41.5)).
Согласно общему определению энергия системы
E = + − L = p + − L.
Ее выражение через функцию Рауса получается путем подстановки сюда (41.1) и (41.4)
E = R − . (41.6)
Обобщение полученных формул на случай, когда имеется по нескольку координат q и ξ, очевидно.
Применение функции Рауса может быть целесообразным, в частности, при наличии циклических координат. Если координаты q — циклические, то они не входят явным образом в функцию Лагранжа, а потому и в функцию Рауса, так что последняя будет функцией только от p, ξ, . Но импульсы p, соответствующие циклическим координатам, постоянны (это следует и из второго из уравнений (41.3), которое в этом смысле не дает ничего нового). После замены импульсов р их заданными постоянными значениями уравнения (41.5)
= 
превратятся в уравнения, содержащие только координаты ξ, так что циклические координаты тем самым исключаются полностью. Если эти уравнения решены и функции ξ(t) найдены, то, подставив их в правую часть уравнений
= 
,
мы найдем прямым интегрированием функции q(t).
