Страница 1 из 2
Пусть ƒ(p, q, t) — некоторая функция координат, импульсов и времени. Составим ее полную производную по времени
=
+ 


k + 
k
.
Подставив сюда вместо
и
их выражения из уравнений Гамильтона (40.4), получим
=
+ {Hƒ}, (42.1)
где введено обозначение
{Hƒ} = 

−

. (42.2)
Выражение (42.2) называют скобками Пуассона для величин H и ƒ.
Такие функции от динамических переменных, которые остаются постоянными при движении системы, называются, как мы знаем, интегралами движения. Мы видим из (42.1), что условие того, чтобы величина ƒ была интегралом движения (dƒ/dt=0), можно написать в виде
+ {Hƒ} = 0. (42.3)
Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то
{Hƒ} = 0, (42.4)
т.е. его скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обращаться в нуль.
Для любой пары величин ƒ и g скобки Пуассона определяются аналогично (42.2):
{ƒg} = 

−

. (42.5)
Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко выводимыми из определения.
Если переставить функции, то скобки переменят знак; если одна из функций — постоянная (c), то скобка равна нулю:
{ƒg} = −{gƒ}, (42.6)
{ƒc} = 0. (42.7)
Далее,
{ƒ1 + ƒ2,g} = {ƒ1g} + {ƒ2g}, (42.8)
{ƒ1ƒ2,g} = ƒ1{ƒ2g} + ƒ2{ƒ1g}. (42.9)
Взяв частную производную от (42.5) по времени, получим
{ƒg} =
g
+
ƒ
. (42.10)
Если одна из функций ƒ или g совпадает с одним из импульсов или координат, то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной:
{ƒqk} =
, (42.11)
{ƒpk} =
. (42.12)
Формулу (42.11), например, получим, положив в (42.5) g=qk; вся сумма сведется при этом к одному члену, так как
=δki, а
=0. Положив в (42.11) и (42.12) функцию ƒ равной qi и pi, получим, в частности,
{qiqk} = 0, {pipk} = 0, {piqk} = δik. (42.13)
Между скобками Пуассона, составленными из трех функций, существует соотношение
{ƒ{gh}} + {g{hƒ}} + {h{ƒg}} = 0; (42.14)
оно называется тождеством Якоби.