Скобки Пуассона

Для его доказательства заметим следующее. Согласно определению (42.5) скобки Пуассона {ƒg} являются билинейной однородной функцией производных первого порядка от величин ƒ и g. Поэтому, например, скобка {h{ƒg}} представляет собой линейную однородную функцию производных второго порядка от ƒ и g. Вся же левая часть равенства (42.14) в целом есть линейная однородная функция вторых производных от всех трех функций ƒ, g, h. Соберем вместе члены, содержащие вторые производные от ƒ. Первая скобка таких членов не содержит — в ней есть только первые производные от ƒ. Сумму же второй и третьей скобок перепишем в символическом виде, введя линейные дифференциальные операторы D₁ и D₂ согласно

D₁(φ) = {gφ},  D₂(φ) = {hφ}.

Тогда

{g{hƒ}} + {h{ƒg}} = {g{hƒ}} − {h{gƒ}} = D₁(D₂(ƒ)) − D₂(D₁(ƒ)) = (D₁D₂ − D₂D₁)ƒ.

Легко видеть, что такая комбинация линейных дифференциальных операторов не может содержать вторых производных от ƒ. В самом деле, общий вид линейных дифференциальных операторов есть

D₁ = ξ_k ,  D₂ = η_k ,

где ξ_k, η_k — произвольные функции переменных x₁, x₂,... Тогда

D₁D₂ = ξ_k η_l + ξ_k  ,

_C = η_k ξ_l + η_k  ,

а разность этих произведений

D₁D₂ − D₁D₂ = ξ_k  − η_k 

есть снова оператор, содержащий только однократные дифференцирования. Таким образом, в левой части равенства (42.14) взаимно сокращаются все члены со вторыми производными от ƒ, а поскольку то же самое относится, очевидно, и к функциям g и h, то и все выражение тождественно обращается в нуль.

Важное свойство скобок Пуассона состоит в том, что если ƒ и g — два интеграла движения, то составленные из них скобки тоже являются интегралом движения

{ƒg} = const                                                          (42.15)

(так называемая теорема Пуассона).

Доказательство этой теоремы совсем просто, если ƒ и g не зависят от времени явно. Положив в тождестве Якоби h=H, получим

{H{ƒg}} + {ƒ{gH}} + {g{Hƒ}} = 0.

Отсюда видно, что если {Hg}=0 и {Hƒ}=0, то и {H{ƒg}}=0, что и следовало доказать.

Если же интегралы движения ƒ и g зависят явно от времени, то можно записать на основании (42.1)

{ƒg} = {ƒg} + {H{ƒg}}

Воспользовавшись формулой (42.10) и заменив скобку {H{ƒg}} двумя другими при помощи тождества Якоби, получим

{ƒg} =  g  + ƒ  − {ƒ{gH}} − {g{Hƒ}} = + {Hƒ},g + ƒ, + {Hg}

или

{ƒg} =  g  + ƒ ,                                      (42.16)

откуда очевидно доказательство теоремы Пуассона в общем случае.

Разумеется, применяя теорему Пуассона, мы не всегда будем получать новые интегралы движения, так как их число вообще ограничено (2s−1, где s — число степеней свободы). В некоторых случаях мы можем получить тривиальный результат — скобки Пуассона сведутся к постоянной. В других случаях вновь полученный интеграл может оказаться просто функцией исходных интегралов от ƒ и g. Если же не имеет места ни тот, ни другой случай, то скобки Пуассона дают новый интеграл движения.