Действие как функция координат

При формулировке принципа наименьшего действия мы рассматривали интеграл

S = L dt,                                                (43.1)

взятый по траектории между двумя заданными положениями q⁽¹⁾ и q⁽²⁾, которые система занимает в заданные моменты времени t₁ и t₂. При варьировании же действия сравнивались значения этого интеграла для близких траекторий с одними и теми же значениями q(t₁) и q(t₂). Лишь одна из этих траекторий отвечает минимальному движению — та, для которой интеграл S минимален.

Рассмотрим теперь понятие действия в другом аспекте. Именно, будем рассматривать S как величину, характеризующую движение по истинным траекториям, и сравним значения, которые она имеет для траекторий, имеющих общее начало q(t₁)=q⁽¹⁾, но проходящих в момент t₂ через различные положения. Другими словами, будем рассматривать интеграл действия для истинных траекторий как функцию значений координат в верхнем пределе интегрирования.

Изменение действия при переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории дается (при одной степени свободы) выражением (2.5)

δS =  δq +   −    δq dt.

Поскольку траектории действительного движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа, то стоящий здесь интеграл обращается в нуль. В первом же члене полагаем на нижнем пределе δq(t₁)=0, а значение δq(t₂) обозначим просто, как δq. Заменив также ∂L/∂ на p, получим окончательно: δS=p δq или в общем случае любого числа степеней свободы

δS = p_i δq_i .                                                    (43.2)

Из этого соотношения следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам

= p_i .                                                            (43.3)

Аналогичным образом действие можно понимать как явную функцию времени, рассматривая траектории, начинающиеся в заданный момент времени t₁ в заданном положении q⁽¹⁾, но заканчивающиеся в заданном положенииq⁽²⁾ в различные моменты времени t₂=t. Понимаемую в этом смысле частную производную ∂S/∂t можно найти путем соответствующего варьирования интеграла. Проще, однако, воспользоваться уже известной нам формулой (43.3), поступив следующим образом.

По самому определению действия его полная производная по времени вдоль траектории равна

= L.                                                       (43.4)

С другой стороны, рассматривая S как функцию координат и времени в описанном выше смысле и используя формулу (43.3), имеем

= + _i = + p_{i i} .

Сравнивая оба выражения, находим

= L − p_{i i}

или окончательно

= −H.                                             (43.5)