Страница 2 из 2
Из последнего равенства имеем
dt = 
(44.8)
и, подставляя это выражение в
pi dqi = 
αik 
dqi ,
найдем укороченное действие в виде
S0 = 
. (44.9)
В частности, для одной материальной точки кинетическая энергия
T = 
,
где m — масса частицы, а dl — элемент длины траектории, и вариационный принцип для определения формы траектории
δ
dl = 0, (44.10)
где интеграл берется между двумя заданными точками пространства. В таком виде он был представлен Якоби.
При свободном движении частицы U=0, и (44.10) дает тривиальный результат
δdl = 0,
т.е. частица движется по кратчайшему пути — по прямой.
Вернемся снова к выражению для действия (44.3) и произведем на этот раз его варьирование также и по параметру E:
δS = 
δE − (t − t0)δE − E δt.
Подставив это в (44.2), находим
= t − t0. (44.11)
Для укороченного действия в форме (44.9) это равенство приводит к соотношению
= t − t0, (44.12)
которое представляет собой не что иное, как интеграл уравнения (44.8). Вместе с уравнением траектории оно полностью определяет движение.
