Страница 1 из 2
Для геометрической интерпретации механических явлений часто пользуются понятием о так называемом фазовом пространстве как о пространстве 2s измерений, на координатных осях которого откладываются значения s обобщенных координат и s импульсов данной механической системы. Каждая точка этого пространства отвечает определенному состоянию системы. При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой траекторией. Произведение дифференциалов
d Γ = dq1 ... dqs dp1 ... dps
можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства.
Рассмотрим теперь интеграл 
dΓ, взятый по некоторой области фазового пространства и изображающий собой ее объем. Покажем, что эта величина обладает свойством инвариантности по отношению к каноническим преобразованиям: если произвести каноническое преобразование от переменных p, q к переменным P, Q, то объемы соответствующих друг другу областей пространств p, q и P, Q одинаковы:
...dq1 ... dqs dp1 ... dps = ...dQ1 ... dQs dP1 ... dPs . (46.1)
Как известно, преобразование переменных в кратном интеграле производится по формуле
...dQ1 ... dQs dP1 ... dPs = ...Ddq1 ... dqs dp1 ... dps ,
где
D = 
(46.2)
есть так называемый якобиан преобразования. Поэтому доказательство теоремы (46.1) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице:
D = 1. (46.3)
Воспользуемся известным свойством якобианов, которое позволяет обращаться с ними в определенном смысле, как с дробями. «Разделив числитель и знаменатель» на ∂(q1,...qs, P1,...,Ps), получим
D = 
. (46.4)
Согласно другому известному правилу якобиан, у которого в «числителе» и «знаменателе» фигурируют одинаковые величины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными. Поэтому
D = 
. (46.5)
