Теорема Лиувилля

Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе этого выражения. Согласно определению это есть определитель ранга s, составленный из элементов ∂Q_i/∂q_k (элемент на пересечении i-й строки и k-го столбца). Представив каноническое преобразование с помощью производящей функции Ф(q, P) в форме (45.8), получим

= .

Таким же образом найдем, что i, k-й элемент определителя в знаменателе выражения (46.5) равен . Это значит, что оба определителя отличаются только заменой строк на столбцы и обратно. Поэтому они равны друг другу, так что отношение (46.5) равно единице, что и требовалось доказать.

Представим себе теперь, что каждая точка данного участка фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения рассматриваемой механической системы. Тем самым будет перемещаться и весь участок. При этом его объем остается неизменным:

d Γ = const.                                                    (46.6)

Это утверждение (так называемая теорема Лиувилля) непосредственно следует из инвариантности фазового объема при канонических преобразованиях и из того, что самое изменение p и q при движении можно рассматривать (как было указано в конце предыдущего параграфа) как каноническое преобразование.

Совершенно аналогичным образом можно доказать инвариантность интегралов

dq_i dp_i ,

dq_i dp_i dq_k dp_k ,

..................................... ,

в которых интегрирование производится по заданным двух-, четырех- и т.д. -мерным многообразиям в фазовом пространстве.