Уравнение Гамильтона-Якоби

Выясним теперь связь между полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби и интересующим нас решением уравнений движения. Для этого произведем каноническое преобразование от величин q, p к новым переменным, причем функцию ƒ(t,q,) выберем в качестве производящей функции, а величины ₁, ₂, ...,  — в качестве новых импульсов. Новые координаты обозначим через β₁, β₂, ..., β_s. Так как производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, мы должны пользоваться формулами (45.8):

p_i = ,  β_i = ,  H' = H + .

Но поскольку функция ƒ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, то мы видим, что новая функция Гамильтона обращается тождественно в нуль:

H' = H +  = H +  = 0.

Поэтому канонические уравнения для новых переменных имеют вид =0, =0, откуда следует, что

_i = const,  β_i = const.                                             (47.3)

С другой стороны, s уравнений

= β_i

дают возможность выразить s координат q через время и 2s постоянных  и β. Тем самым мы найдем общий интеграл уравнений движения.

Таким образом, решение задачи о движении механической системы методом Гамильтона-Якоби сводится к следующим операциям.

По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона-Якоби и находится полный интеграл (47.2) этого уравнения. Дифференцируя его по произвольным постоянным  и приравнивая новым постоянным β, получаем систему s алгебраических уравнений

= β_i ,                                                          (47.4)

решая которую, найдем координаты q как функции времени и 2s произвольных постоянных. Зависимость импульсов от времени можно найти затем по уравнениям p_i=∂S/∂q_i.

Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, зависящий от меньшего чем s числа произвольных постоянных, то хотя с его помощью нельзя найти общий интеграл уравнений движения, но можно несколько упростить задачу его нахождения. Так, если известна функция S, содержащая одну произвольную постоянную , то соотношение

= const

дает одно уравнение, связывающее q₁,...,q_s и t.

Уравнение Гамильтона-Якоби принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция H не зависит от времени явно, т.е. система консервативна. Зависимость действия от времени сводится при этом к слагаемому −Et:

S = S₀(q) − Et                                                        (47.5)

(см. здесь), и подстановкой в (47.1) мы получаем для укороченного действия S₀(q) уравнение Гамильтона-Якоби в виде

H q₁,...,q_s; ,..., = E                                 (47.6)