Страница 2 из 2
Выясним теперь связь между полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби и интересующим нас решением уравнений движения. Для этого произведем каноническое преобразование от величин q, p к новым переменным, причем функцию ƒ(t,q,) выберем в качестве производящей функции, а величины 1, 2, ..., — в качестве новых импульсов. Новые координаты обозначим через β1, β2, ..., βs. Так как производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, мы должны пользоваться формулами (45.8):
pi = , βi = , H' = H + .
Но поскольку функция ƒ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, то мы видим, что новая функция Гамильтона обращается тождественно в нуль:
H' = H + = H + = 0.
Поэтому канонические уравнения для новых переменных имеют вид =0, =0, откуда следует, что
i = const, βi = const. (47.3)
С другой стороны, s уравнений
= βi
дают возможность выразить s координат q через время и 2s постоянных и β. Тем самым мы найдем общий интеграл уравнений движения.
Таким образом, решение задачи о движении механической системы методом Гамильтона-Якоби сводится к следующим операциям.
По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона-Якоби и находится полный интеграл (47.2) этого уравнения. Дифференцируя его по произвольным постоянным и приравнивая новым постоянным β, получаем систему s алгебраических уравнений
= βi , (47.4)
решая которую, найдем координаты q как функции времени и 2s произвольных постоянных. Зависимость импульсов от времени можно найти затем по уравнениям pi=∂S/∂qi.
Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, зависящий от меньшего чем s числа произвольных постоянных, то хотя с его помощью нельзя найти общий интеграл уравнений движения, но можно несколько упростить задачу его нахождения. Так, если известна функция S, содержащая одну произвольную постоянную , то соотношение
= const
дает одно уравнение, связывающее q1,...,qs и t.
Уравнение Гамильтона-Якоби принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция H не зависит от времени явно, т.е. система консервативна. Зависимость действия от времени сводится при этом к слагаемому −Et:
S = S0(q) − Et (47.5)
(см. здесь), и подстановкой в (47.1) мы получаем для укороченного действия S0(q) уравнение Гамильтона-Якоби в виде
H q1,...,qs; ,..., = E (47.6)