Страница 2 из 3
1. Сферические координаты. В этих координатах (r, θ, φ) функция Гамильтона
H =
pr2 +
+ 
+ U (r, θ, φ)
и разделение переменных возможно, если
U = α(r) +
+
,
где α(r) b(θ), c(φ) — произвольные функции. Последний член в этом выражении вряд ли может представить физический интерес, и потому мы рассмотрим поле вида
U = α(r) +
. (48.8)
В этом случае уравнение Гамильтона-Якоби для функции S0


+ α(r) +



+ 2mb (θ)
+


= E.
Учитывая цикличность координаты φ, ищем решение в виде
S0 = pφφ + S1(r) + S2(θ)
и для функций S1(r) и S2(θ) получаем уравнения


+ 2mb (θ) +
= β,


+ α(r) +
= E.
Интегрируя их, получим окончательно:
S = −Et + pφφ + 
dθ + 
dr. (48.9)
Произвольными постоянными здесь являются pφ, β, E; дифференцируя по ним и приравнивая результат дифференцирования новым постоянным, найдем общее решение уравнений движения.
2. Параболические координаты. Переход к параболическим координатам ξ, η, φ совершается от цилиндрических координат (которые в этом параграфе мы будем обозначать, как ρ, φ, z) по формулам
z =
(ξ − η), ρ =
. (48.10)
Координаты ξ, и η пробегают значения от нуля до
; поверхности постоянных ξ и η представляют собой, как легко убедиться, два семейства параболоидов вращения (с осью z в качестве оси симметрии). Связь (48.10) можно представить еще и в другой форме, введя радиус
r =
=
(ξ − η). (48.11)
Тогда
ξ = r + z, η = r − z. (48.12)
Составим функцию Лагранжа материальной точки в координатах ξ, η, φ. Дифференцируя выражения (48.10) по времени и подставляя в
L =
(
2 + ρ2
2 +
2) − U (ρ,φ,z)
(функция Лагранжа в цилиндрических координатах), получим
L =
(ξ + η) 
+ 
+
ξη
2 − U (ξ,η,φ). (48.13)
Импульсы равны
pξ =
(ξ +η)
, pη =
(ξ + η)
, pφ = mξη
и функция Гамильтона
H =
+
+ U (ξ,η,φ). (48.14)