Разделение переменных

Страница 2 из 3

1. Сферические координаты. В этих координатах (r, θ, φ) функция Гамильтона

H = p_r² + + + U (r, θ, φ)

и разделение переменных возможно, если

U = α(r) + + ,

где α(r) b(θ), c(φ) — произвольные функции. Последний член в этом выражении вряд ли может представить физический интерес, и потому мы рассмотрим поле вида

U = α(r) + . (48.8)

В этом случае уравнение Гамильтона-Якоби для функции S₀

+ α(r) + + 2mb (θ) + = E.

Учитывая цикличность координаты φ, ищем решение в виде

S₀ = p_φφ + S₁(r) + S₂(θ)

и для функций S₁(r) и S₂(θ) получаем уравнения

+ 2mb (θ) + = β,

+ α(r) + = E.

Интегрируя их, получим окончательно:

S = −Et + p_φφ + dθ + dr. (48.9)

Произвольными постоянными здесь являются p_φ, β, E; дифференцируя по ним и приравнивая результат дифференцирования новым постоянным, найдем общее решение уравнений движения.

2. Параболические координаты. Переход к параболическим координатам ξ, η, φ совершается от цилиндрических координат (которые в этом параграфе мы будем обозначать, как ρ, φ, z) по формулам

z = (ξ − η), ρ = . (48.10)

Координаты ξ, и η пробегают значения от нуля до ; поверхности постоянных ξ и η представляют собой, как легко убедиться, два семейства параболоидов вращения (с осью z в качестве оси симметрии). Связь (48.10) можно представить еще и в другой форме, введя радиус