Разделение переменных

Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида

U =  = .                    (48.15)

Имеем уравнение

ξ  + η  +   +  = E.

Циклическая координата φ отделяется в виде p_φφ. Умножив затем уравнение на m(ξ+η) и перегруппировав члены, получим

2ξ  + mα (ξ) − mE ξ +  + 2η  + mb (η) − mE η + = 0.

Положив

S₀ = p_φφ + S₁(ξ) + S₂(η),

получим два уравнения

2ξ  + mα (ξ) − mE ξ +  = β,

2η  + mb (η) − mE η +  = −β

и, интегрируя их, найдем окончательно:

S = −Et + p_φφ +  dξ + dη          (48.16)

с произвольными постоянными p_φ, β, E.

3. Эллиптические координаты. Эти координаты ξ, η, φ вводятся согласно формулам

ρ = σ,  z = σξη.                                (48.17)

Постоянная о является параметром преобразования. Координата ξ пробегает значения от единицы до , а координата η от −1 до +1. Геометрически более наглядные соотношения получаются, если ввести расстояния r₁ и r₂ до точек A₁ и A₂ на оси z с координатами z=σ и z=−σ:

r₁ = ,  r₂ = .

Подставив сюда выражения (48.17), получим

r₁ = σ (ξ − η),  r₂ = σ(ξ + η),  ξ = ,  η = .      (48.18)

Преобразуя функцию Лагранжа от цилиндрических координат к эллиптическим, найдем

L = (ξ² − η²) + + (ξ² − 1) (1 − η²)φ² − U (ξ,η,φ).   (48.19)

Отсюда для функции Гамильтона получим

H = (ξ² − 1) + (1 − η²) + + + U (ξ,η,φ).   (48.20)

Физически интересные случаи разделения переменных соответствуют потенциальной энергии

U = = α + b ,           (48.21)

где α(ξ) и b(η) — произвольные функции. Результат разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби гласит:

S = −Et + p_φφ +  dξ +  dη.   (48.22)