Страница 3 из 3
Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида
U = = . (48.15)
Имеем уравнение
ξ + η + + = E.
Циклическая координата φ отделяется в виде pφφ. Умножив затем уравнение на m(ξ+η) и перегруппировав члены, получим
2ξ + mα (ξ) − mE ξ + + 2η + mb (η) − mE η + = 0.
Положив
S0 = pφφ + S1(ξ) + S2(η),
получим два уравнения
2ξ + mα (ξ) − mE ξ + = β,
2η + mb (η) − mE η + = −β
и, интегрируя их, найдем окончательно:
S = −Et + pφφ + dξ + dη (48.16)
с произвольными постоянными pφ, β, E.
3. Эллиптические координаты. Эти координаты ξ, η, φ вводятся согласно формулам
ρ = σ, z = σξη. (48.17)
Постоянная о является параметром преобразования. Координата ξ пробегает значения от единицы до , а координата η от −1 до +1. Геометрически более наглядные соотношения получаются, если ввести расстояния r1 и r2 до точек A1 и A2 на оси z с координатами z=σ и z=−σ:
r1 = , r2 = .
Подставив сюда выражения (48.17), получим
r1 = σ (ξ − η), r2 = σ(ξ + η), ξ = , η = . (48.18)
Преобразуя функцию Лагранжа от цилиндрических координат к эллиптическим, найдем
L = (ξ2 − η2) + + (ξ2 − 1) (1 − η2)φ2 − U (ξ,η,φ). (48.19)
Отсюда для функции Гамильтона получим
H = (ξ2 − 1) + (1 − η2) + + + U (ξ,η,φ). (48.20)
Физически интересные случаи разделения переменных соответствуют потенциальной энергии
U = = α + b , (48.21)
где α(ξ) и b(η) — произвольные функции. Результат разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби гласит:
S = −Et + pφφ + dξ + dη. (48.22)