Страница 3 из 3
Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида
U =
=
. (48.15)
Имеем уравнение
ξ 

+ η 


+


+
= E.
Циклическая координата φ отделяется в виде pφφ. Умножив затем уравнение на m(ξ+η) и перегруппировав члены, получим
2ξ 

+ mα (ξ) − mE ξ +
+ 2η 

+ mb (η) − mE η +
= 0.
Положив
S0 = pφφ + S1(ξ) + S2(η),
получим два уравнения
2ξ 

+ mα (ξ) − mE ξ +
= β,
2η 

+ mb (η) − mE η +
= −β
и, интегрируя их, найдем окончательно:
S = −Et + pφφ + 
dξ + 
dη (48.16)
с произвольными постоянными pφ, β, E.
3. Эллиптические координаты. Эти координаты ξ, η, φ вводятся согласно формулам
ρ = σ
, z = σξη. (48.17)
Постоянная о является параметром преобразования. Координата ξ пробегает значения от единицы до
, а координата η от −1 до +1. Геометрически более наглядные соотношения получаются, если ввести расстояния r1 и r2 до точек A1 и A2 на оси z с координатами z=σ и z=−σ:
r1 =
, r2 =
.
Подставив сюда выражения (48.17), получим
r1 = σ (ξ − η), r2 = σ(ξ + η), ξ =
, η =
. (48.18)
Преобразуя функцию Лагранжа от цилиндрических координат к эллиптическим, найдем
L =
(ξ2 − η2) 
+ 
+
(ξ2 − 1) (1 − η2)φ2 − U (ξ,η,φ). (48.19)
Отсюда для функции Гамильтона получим
H =
(ξ2 − 1)
+ (1 − η2)
+ 
+ 


+ U (ξ,η,φ). (48.20)
Физически интересные случаи разделения переменных соответствуют потенциальной энергии
U =
=
α 

+ b 


, (48.21)
где α(ξ) и b(η) — произвольные функции. Результат разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби гласит:
S = −Et + pφφ + 
dξ + 
dη. (48.22)