Страница 2 из 2
Как уже было указано, интегрирования в этой формуле должны производиться по траектории движения при данном постоянном значении λ. Вдоль такой траектории функция Гамильтона сохраняет постоянное значение E, а импульс является определенной функцией переменной координаты q и двух постоянных независимых параметров E и λ. Понимая импульс именно как такую функцию p(q;E,λ) и дифференцируя равенство H(p,q;λ)=E по параметру λ, получим
+ 
= 0 или 
= − .
Подставив это в верхний интеграл в (49.5) и написав в нижнем подынтегральную функцию в виде ∂p/∂E, имеем
= − 
или 
+ 
dq = 0.
Это равенство можно окончательно переписать в виде
= 0, (49.6)
где I обозначает интеграл
I = 
p dq, (49.7)
взятый по траектории движения при заданных E и λ. Этот результат показывает, что величина I остается в рассматриваемом приближении постоянной при изменении параметра λ, т.е. является адиабатическим инвариантом.
Величина I является функцией энергии системы (и параметра λ). Ее частная производная по энергии определяет период движения: согласно (49.4) имеем
2
= dq = T, (49.8)
или
= ω, (49.9)
где ω=2/T — частота колебаний системы.
Интегралу (49.7) может быть приписан наглядный геометрический смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траектории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазовое пространство сводится к двумерной системе координат p, q, и фазовая траектория системы, совершающей периодическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл (49.7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он может быть написан и как двумерный интеграл по площади:
I = 
dp dq. (49.10)
В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора. Его функция Гамильтона
H = 
+ 
, (49.11)
где ω — собственная частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии
H (p,q) = E.
Это есть эллипс с полуосями 
и 
и его площадь (деленная на 2)
I = E/ω. (49.12)
Адиабатическая инвариантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте.
